7 斐波那契数列:写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项值。

一、题目
写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项值。
斐波那契数列的定义如下：

二、解题思路
按照上述递推式，可以使用循环或递归的方式获取第n项式。

 ///0 ,1,1,2,3,5,8
public class Test {  

    /** 
     * 写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci) 数列的第n项 
     * @param n Fibonacci数的项数 
     * @return 第n项的结果 
     * 　　 时间复杂度：O(n)
     */  
    public static long fibonacci(int n) {  

        // 当输入非正整数的时候返回0  
        if (n <= 0) {  
            return 0;  
        }  

        // 输入1或者2的时候返回1  
        if (n == 1 || n == 2) {  
            return 1;  
        }  

        // 第n-2个的Fibonacci数的值  
        long prePre = 1;  
        // 第n-1个的Fibonacci数的值  
        long pre = 1;  
        // 第n个的Fibonacci数的值  
        long current = 2;  

        // 求解第n个的Fibonacci数的值  
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {  
            // 求第i个的Fibonacci数的值  
            current = prePre + pre;  
            // 更新记录的结果，prePre原先记录第i-2个Fibonacci数的值  
            // 现在记录第i-1个Fibonacci数的值  
            prePre = pre;  
            // 更新记录的结果，pre原先记录第i-1个Fibonacci数的值  
            // 现在记录第i个Fibonacci数的值  
            pre = current;  
        }  

        // 返回所求的结果  
        return current;  
    }   

// 递归实现方式   0,1,1,2,3
	public static int fibonacci(int n){
	if (n <= 0) {  
            return 0;  
        }  else if(n <= 2){
			return 1;
		}else{
			return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
		}

}

延展题目:
原文链接:https://www.cnblogs.com/yongh/p/9642411.html#_label3_1
青蛙跳台阶问题
　题目1：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

将跳法总数记为f(n)，可以知道f(1)=1，f(2)=2。当n>2时，第一次跳1级的话，还有f(n-1)种跳法；第一次跳2级的话，还有f(n-2)种跳法，所以可以推得f(n)=f(n-1)+f(n-2)，即为斐波那契数列。

题目2：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解法1：

当n=1时，f(1)=1。

当n大于1时，归纳总结可知：跳上n级台阶，第一次跳1级的话，有f(n-1)种方法；第一次跳2级的话，有f(n-2)种方法……第一次跳n-1级的话，有f(1)种方法；直接跳n级的话，有1种方法，所以可以得到如下公式：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…f(1)+1　　（n≥2）

f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)+…f(1)+1　　（n>2）

由上面两式相减可得，f(n)-f(n-1)=f(n-1)，即f(n) = 2*f(n-1) (n>2)

最终结合f(1)和f(2)，可以推得：f(n)=2^(n-1)

解法2：

假设跳到第n级总共需要k次，说明要在中间n-1级台阶中选出任意k-1个台阶，即C(n-1,k-1)种方法。

所以：跳1次就跳上n级台阶，需要C(n-1,0)种方法；跳2次需要C(n-1,1)种方法……跳n次需要C(n-1,n-1)种方法

总共需要跳C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+……C(n-1,n-1)=2^(n-1)种方法。

解法3：

除了必须到达最后一级台阶，第1级到第n-1级台阶都可以有选择的跳，也就是说对于这n-1个台阶来说，每个台阶都有跳上和不跳上2种情况，所以一共有2^(n-1)种方法。

矩形覆盖问题
　题目：用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2n的大矩形，总共有多少种方法？

当n = 1时，有一种方法。

当n = 2时，有两种方法。

当n >= 3时，和斐波那契数列类似。第一步竖着放，有f(n-1)种方法；第一步横着放，有f(n-2)种方法。所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)