7 斐波那契数列:写一个函数,输入n,求斐波那契数列的第n项值。

本文探讨了斐波那契数列的多种计算方法,包括递归与迭代,以及其在青蛙跳台阶与矩形覆盖问题中的应用。通过动态规划思想,解决了复杂度较高的问题。

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一、题目
写一个函数,输入n,求斐波那契数列的第n项值。
斐波那契数列的定义如下:

二、解题思路
按照上述递推式,可以使用循环或递归的方式获取第n项式。
在这里插入图片描述

 ///0 ,1,1,2,3,5,8
public class Test {  

    /** 
     * 写一个函数,输入n,求斐波那契(Fibonacci) 数列的第n项 
     * @param n Fibonacci数的项数 
     * @return 第n项的结果 
     *    时间复杂度:O(n)
     */  
    public static long fibonacci(int n) {  

        // 当输入非正整数的时候返回0  
        if (n <= 0) {  
            return 0;  
        }  

        // 输入1或者2的时候返回1  
        if (n == 1 || n == 2) {  
            return 1;  
        }  

        // 第n-2个的Fibonacci数的值  
        long prePre = 1;  
        // 第n-1个的Fibonacci数的值  
        long pre = 1;  
        // 第n个的Fibonacci数的值  
        long current = 2;  

        // 求解第n个的Fibonacci数的值  
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {  
            // 求第i个的Fibonacci数的值  
            current = prePre + pre;  
            // 更新记录的结果,prePre原先记录第i-2个Fibonacci数的值  
            // 现在记录第i-1个Fibonacci数的值  
            prePre = pre;  
            // 更新记录的结果,pre原先记录第i-1个Fibonacci数的值  
            // 现在记录第i个Fibonacci数的值  
            pre = current;  
        }  

        // 返回所求的结果  
        return current;  
    }   

// 递归实现方式   0,1,1,2,3
	public static int fibonacci(int n){
	if (n <= 0) {  
            return 0;  
        }  else if(n <= 2){
			return 1;
		}else{
			return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
		}

}


延展题目:
原文链接:https://www.cnblogs.com/yongh/p/9642411.html#_label3_1
青蛙跳台阶问题
 题目1:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

将跳法总数记为f(n),可以知道f(1)=1,f(2)=2。当n>2时,第一次跳1级的话,还有f(n-1)种跳法;第一次跳2级的话,还有f(n-2)种跳法,所以可以推得f(n)=f(n-1)+f(n-2),即为斐波那契数列。

题目2:一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解法1:

当n=1时,f(1)=1。

当n大于1时,归纳总结可知:跳上n级台阶,第一次跳1级的话,有f(n-1)种方法;第一次跳2级的话,有f(n-2)种方法……第一次跳n-1级的话,有f(1)种方法;直接跳n级的话,有1种方法,所以可以得到如下公式:

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…f(1)+1  (n≥2)

f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)+…f(1)+1  (n>2)

由上面两式相减可得,f(n)-f(n-1)=f(n-1),即f(n) = 2*f(n-1) (n>2)

最终结合f(1)和f(2),可以推得:f(n)=2^(n-1)

解法2:

假设跳到第n级总共需要k次,说明要在中间n-1级台阶中选出任意k-1个台阶,即C(n-1,k-1)种方法。

所以:跳1次就跳上n级台阶,需要C(n-1,0)种方法;跳2次需要C(n-1,1)种方法……跳n次需要C(n-1,n-1)种方法

总共需要跳C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+……C(n-1,n-1)=2^(n-1)种方法。

解法3:

除了必须到达最后一级台阶,第1级到第n-1级台阶都可以有选择的跳,也就是说对于这n-1个台阶来说,每个台阶都有跳上和不跳上2种情况,所以一共有2^(n-1)种方法。

矩形覆盖问题
 题目:用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2n的大矩形,总共有多少种方法?

当n = 1时,有一种方法。

当n = 2时,有两种方法。

当n >= 3时,和斐波那契数列类似。第一步竖着放,有f(n-1)种方法;第一步横着放,有f(n-2)种方法。所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)

<think>好的,我现在需要帮助用户了解如何用递归实现斐波那契数列的第n。用户已经提供了一些相关的引用资料,包括C语言和Python的示例代码,以及一些解释。我需要综合这些信息,给出一个清晰的中文回答,并且按照用户的要使用正确的LaTeX格式,同时生成相关问题。 首先,我需要明确斐波那契数列的递归定义。根据引用[1]和[3],斐波那契数列的定义是F(0)=0,F(1)=1,当n≥2时,F(n)=F(n-1)+F(n-2)。不过在用户提供的示例中,有的代码是从F(1)=1开始的,比如C语言的例子引用[1]中的代码处理的是n=1和n=2返回1,而引用[4]中的C++代码则是n=1返回0,n=2返回1。这可能是因为不同来源对斐波那契数列的起始索引定义不同,有的从0开始,有的从1开始。因此,我需要指出这一点,确保用户清楚不同的起始情况。 接下来,递归函数的基本结构。递归需要有两个部分:基线条件(base case)和递归条件。基线条件是当n为0或1时返回相应的,递归条件则是返回F(n-1)+F(n-2)。不过根据用户提供的引用,有些代码将基线条件设为n=1和n=2都返回1,这可能对应于不同的数列起始定义。例如,引用[2]中的Python递归函数是当n=1或n=2时返回1,对应的数列是0、1、1、2、3...或者1、1、2、3...?这里可能存在混淆,需要明确说明。 根据用户的问题,他们希望用递归实现斐波那契数列的第n。因此,我需要选择一个标准的定义,比如通常数学上斐波那契数列定义为F(0)=0,F(1)=1,之后每一都是前两之和。但根据不同的编程示例,可能索引有所不同。例如,引用[4]中的C++代码中,输入n=1返回0,n=2返回1,因此他们的数列是从第1开始为0,第2为1,第3为1,第4为2,依此类推。而引用[2]中的Python代码则是n=1和n=2都返回1,对应数列是1、1、2、3...。这可能容易让用户困惑,所以需要在回答中明确指出不同的索引方式,并建议用户根据需调整基线条件。 接下来,我需要编写递归函数的代码示例。根据用户提供的引用,C语言和Python的代码都有示例。例如,引用[1]中的C语言代码处理的是当n=1或n=2时返回1,这对应于数列的第1和第2都是1的情况。而引用[2]中的Python代码同样处理n=1和n=2返回1。但数学上更常见的是从0开始,所以可能需要指出这两种情况。 此外,递归实现的缺点是效率问题,如引用[2]和[5]提到的,当n较大时,递归方法会有重复计算,导致性能低下。因此,在回答中需要提到递归的优缺点,比如代码简洁但效率低,适用于教学或小规模计算,而不适合实际大规模应用。 在结构上,按照用户的要,回答需要分步骤说明。首先解释递归的定义,然后给出基线条件和递归条件,接着提供代码示例(Python和C语言),然后分析优缺点,最后注意事。同时,需要确保所有的数学表达式使用$...$格式,例如斐波那契数列的递推公式成$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$,基线条件成$F(0)=0$,$F(1)=1$等。 然后,生成相关问题。根据用户之前的示例,问题可能涉及递归实现的优缺点、优化方法、应用场景、时间复杂度分析等。需要确保问题相关且有参考价。 最后,检查引用是否正确。用户提供的引用[1]到[5]中有一些重复,比如引用[1]、[2]、[3]、[4]、[5]都涉及递归实现斐波那契数列的不同方面,需要正确引用。例如,引用[1]中的C语言示例,引用[2]中的Python递归和迭代对比,引用[4]中的C++代码,引用[5]中的高效计算方法。 总结回答的结构: 1. 斐波那契数列的递归定义,指出不同起始索引的情况。 2. 递归函数的实现步骤:基线条件和递归条件。 3. 代码示例(Python和C语言)。 4. 优缺点分析。 5. 注意事输入验证、效率问题)。 6. 相关问题生成。 现在需要将这些内容整合成用户要的格式,使用中文,正确使用LaTeX,并在引用处添加标识。</think>### 如何用递归实现斐波那契数列第n? #### 1. 递归定义与实现原理 斐波那契数列的递推公式为: $$F(n) = \begin{cases} 0 & n=0 \\ 1 & n=1 \\ F(n-1) + F(n-2) & n \geq 2 \end{cases}$$ **注意**:不同实现可能对起始索引有差异。例如: - 若从$n=1$开始:$F(1)=1, F(2)=1$(如引用[1]的C语言实现) - 若从$n=0$开始:$F(0)=0, F(1)=1$(数学标准定义) #### 2. 递归函数实现步骤 1. **基线条件**(终止条件): - 当$n=0$时返回0 - 当$n=1$时返回1 2. **递归条件**: - 当$n \geq 2$时,返回$F(n-1) + F(n-2)$ #### 3. 代码示例(Python与C语言) **Python实现**(标准数学定义): ```python def fibonacci(n): if n <= 0: return 0 elif n == 1: return 1 else: return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) ``` **C语言实现**(从$n=1$开始): ```c #include <stdio.h> int Fibonacci(int n) { if (n == 1 || n == 2) // 第一和第二均为1 return 1; else return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2); } ``` #### 4. 优缺点分析 - **优点**:代码简洁,直接反映数学定义,适合教学和小规模计算[^2][^3]。 - **缺点**:时间复杂度为$O(2^n)$,存在大量重复计算,例如计算$F(5)$时会重复计算$F(3)$和$F(2)$多次[^2][^5]。 #### 5. 注意事 - **输入验证**:需检查$n$是否为非负整数(如引用[2]中的输入判断)。 - **性能限制**:当$n > 30$时递归效率急剧下降,建议改用迭代或动态规划(如引用[5]的优化方法)。 ---
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