杭电4506-小明系列故事——师兄帮帮忙

小明系列故事——师兄帮帮忙

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Problem Description
  小明自从告别了ACM/ICPC之后,就开始潜心研究数学问题了,一则可以为接下来的考研做准备,再者可以借此机会帮助一些同学,尤其是漂亮的师妹。这不,班里唯一的女生又拿一道数学题来请教小明,小明当然很高兴的就接受了。不过等他仔细读题以后,发现自己也不会做,这下小明囧了:如果回复说自己不懂,岂不是很没面子?
  所以,他现在私下求你帮忙解决这道题目,题目是这样的:
  给你n个数字,分别是a1,a2,a3,a4,a5……an,这些数字每过一个单位时间就会改变,假设上一个单位时间的数字为a1’,a2’,a3’……an’,那么这个单位时间的数字a[i] = a[i - 1]’ * K(i == 1的时候a[1] = a[n]’ * K),其中K为给定的系数。
  现在的问题就是求第t单位时间的时候这n个数字变成了什么了?由于数字可能会很大,所以只要你输出数字对10^9 + 7取余以后的结果。
 

Input
  输入数据第一行是一个正整数T,表示有T组测试数据;
  每组数据有两行,第一行包含输入三个整数n, t, k,其中n代表数字个数,t代表第t个单位时间,k代表系数;第二行输入n个数字ai,代表每个数字开始的时候是多少。

  [Technical Specification]
  T <= 100
  1 <= n <= 10 ^ 4
  0 <= t <= 10 ^ 9  其中 t = 0 表示初始状态
  1 <= k <= 10 ^ 9
  1 <= ai<= 10 ^ 9
 

Output
  对于每组数据请输出第t单位时间后这n个数字变成了什么,输出的时候每两个数字之间输出一个空格,行末不要输出多余的空格,具体见样例。
 

Sample Input
2 3 2 5 1 2 3 3 0 5 1 2 3
 

Sample Output
50 75 25 1 2 3
这题数据给的很大,所以要运用快速幂方法
AC代码+解释:
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
const int MAX=10001;
__int64 s[MAX];//这里要开64位
__int64 y[MAX];
__int64 t;
__int64 k;
using namespace std;
__int64 Mul(__int64 x,__int64 y)//相乘
{
    __int64 sum;
    x%=1000000007;
    y%=1000000007;
    sum=(x*y)%1000000007;
    return sum;
}
__int64 Quick(__int64 x,__int64 n)//快速幂
{
    __int64 y;
    y=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        y=Mul(x,y);
        x=Mul(x,x);
        n>>=1;
    }
    return y;
}
int main()
{
    int T;
    __int64 n,b,i,j,q,p;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>t>>k;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>s[i];
            y[i]=s[i];
        }
        b=t%n;//根据题意数列有n种变换,每次t=n时,该数列会变成t=0时(即原来的数列)数列,不过数列元素大小变为原来的k^t倍,这里取模表示变为1~n这其中那一种数列
        for(i=n-b,j=n;i>=1;i--,j--)//这里就会发现规律,不管b为几,数列最后一项即s[n]一定变为最开始s[n-b]*(k^n)并且第一项为s[n-b+1]*(k^n)所以依次类推
        {
            s[i]%=1000000007;//因为题目数据给的范围很大,所以每次计算都要取模
            y[j]=(s[i]*Quick(k,t))%1000000007;//快速幂完相乘后也要取模,不要也会溢出
        }
        for(q=1,p=n-b+1;p<=n;p++,q++)//同上
        {
            s[p]%=1000000007;
            y[q]=(Quick(k,t)*s[p])%1000000007;
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==n)
            cout<<y[i]<<endl;
            else
            cout<<y[i]<<" ";
        }
    }
    return 0;
}


### 关于华为OD机试2025B卷中小明减肥的算法题 #### 题目描述 小明计划通过锻炼来减轻体重。他每天可以选择不同的运动方式,每种运动消耗一定的卡路里并花费一定的时间完成。为了达到最佳效果,小明希望在有限时间内最大化燃烧的总卡路里数。 给定一系列活动及其对应的卡路里消耗和所需时间,以及一天内的最大可用时间,请设计一种方法帮助小明制定最优方案,在不超过规定时间的前提下实现最大的卡路里消耗目标。 此问题属于经典的 **动态规划 (Dynamic Programming)** 类型[^1]。 --- #### 动态规划解决思路 定义状态 `dp[i][j]` 表示从前 `i` 种活动中选取若干项,并且总耗时不超过 `j` 的情况下能够获得的最大卡路里消耗量。 转移方程如下: - 如果不选第 `i` 项,则 `dp[i][j] = dp[i-1][j]`; - 如果选择第 `i` 项(前提是该活动所需的耗时小于等于当前剩余时间),则有 `dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-t_i]+c_i)`, 其中 `t_i` 和 `c_i` 分别表示第 `i` 项活动所耗费时间和对应能减少的卡路里数量。 初始条件设置为当没有任何项目可选 (`i=0`) 或者没有剩余时间可供分配(`j=0`) 时候均为零即 `dp[0][*]=dp[*][0]=0`. 最终答案存储于变量 `dp[n][T_max]`, 这里的 n 是总的活动数目而 T_max 则代表每日允许使用的最长小时数. --- #### 示例代码实现 (Python) 以下是基于以上理论的一个简单实现: ```python def max_calories_burned(activities, time_limit): """ 计算在限定时间内可以烧掉的最大卡路里 :param activities: list of tuples [(time_required_1, calories_burned_1), ...] :param time_limit: int 总共有的时间限制 :return: int 可以得到的最大卡路里值 """ num_activities = len(activities) # 初始化 DP 数组 dp = [[0]*(time_limit+1) for _ in range(num_activities+1)] for i in range(1, num_activities + 1): t_i, c_i = activities[i-1] # 当前活动的时间需求与卡路里贡献 for j in range(time_limit + 1): if j >= t_i: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - t_i] + c_i) else: dp[i][j] = dp[i-1][j] return dp[num_activities][time_limit] # 测试数据 if __name__ == "__main__": test_activities = [(3, 40), (4, 50), (2, 20)] # 每个元组形式为 (所需时间, 减少的卡路里) total_time_available = 6 # 设定总共拥有的时间为6个小时 result = max_calories_burned(test_activities, total_time_available) print(f"Maximum Calories Burned within {total_time_available} hours is {result}") ``` 上述程序展示了如何利用二维数组构建动态规划表解决问题的过程[^1]. --- #### 复杂度分析 - 时间复杂度 O(n*T),这里n指代的是不同种类的任务总数,T则是设定好的最长时间界限. - 空间复杂度同样也是 O(n*T). 这种解法虽然占用较多内存空间但是由于其清晰易懂所以非常适合用来处理此类背包类别的优化难题[^1]. ---
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