轮廓线动态规划

最新推荐文章于 2025-07-09 01:23:59 发布

明太鱼

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分类专栏： ACM 文章标签：算法动态规划轮廓线动态规划

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轮廓线动态规划常用于解决在有限宽度棋盘上的复杂操作问题，它通过将棋盘的“轮廓线”作为状态的一部分来实现动态规划。以铺放1*2骨牌覆盖n*m棋盘为例，当m和n至少有一个小于等于10时，可以有效地控制状态总数，从而求解出所有可能的铺放方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这类问题的共同特点是：在一个比较“窄”的棋盘上进行复杂操作。如果采用传统方法(以整行整列为状态)进行动态规划，将无法进行状态转移，因此只能把参差不齐的“轮廓线”作为状态的一部分。尽管轮廓线的形态复杂，但由于棋盘比较窄，状态总数仍然可以控制在可以接受的范围内。直接看例题：

1，铺放骨牌：

用1*2骨牌覆盖n*m棋盘，有多少种方法？

分析：

本题为最经典的轮廓线动态规划问题。题目规定m*n<=100，因此m和n中至少有一个数不超过10。因此我们把小的数赋给m，大的数赋给n。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m.cur;

const int maxn = 15;
long long d[2][1<<maxn];
void update (int a, int b){
	if(b&(1<<m)) d[cur][b^(1<<m)] += d[1-cur][a];
}

int main (){
	while(scanf("%d %d", &n, &m)!=EOF){
		if(n < m) swap(n,m);
		memset(d,0,sizeof(d));
		cur = 0;
		d[0][(1<<m)-1] = 1;
		for(int i = 0; i < n; i++){
			for(int j = 0; j < m; j++){
				cur ^= 1;
				memset(d[cur],0,sizeof(d[cur]));
				for(int k = 0; k < (1<<m); k++){
					update(k,k<<1);
					if(i &&!(k&(1<<m-1))) update(k,(k<<1)^(1<<m)^1);
					if(j && !(k&1)) update(k,(k<<1)^3);
				}
			}
		}
		printf("%lld\n",d[cur][(1<<m)-1]);
	}
	return 0;
}