数学之路-数据分析进阶-Cox比例风险回归模型

本文介绍了Cox比例风险回归模型的基本原理及其应用。该模型由D.R.Cox于1972年提出,广泛应用于肿瘤和其他慢性病的预后分析及队列研究中的病因探索。文章详细解释了模型的数学表达式,包括基准风险函数h0(t)、影响因素变量X1到Xp以及对应的回归系数β1到βp。

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Cox比例风险回归模型(Cox’s proportional hazards regression model),简称Cox回归模型。该模型由英国统计学家D.R.Cox于1972年提出,主要用于肿瘤和其它慢性病的预后分析,也可用于队列研究的病因探索。

h(t/X)=h0(t) exp (β1 X1 + β2 X2 + …… + βp Xp )
h0(t): 基准风险函数 即所有变量取零时的t时刻的风险函数,即没有协变量下的,风险函数
X1、X2 …… Xp:影响因素 变量
β1、β2 …… βp:回归系数
协变量(covariate)在心理学、行为科学中,是指与因变量有线性相关并在探讨自变量与因变量关系时通过统计技术加以控制的变量。常用的协变量包括因变量的前测分数、人口统计学指标以及与因变量明显不同的个人特征等。
举个例子就是:降雨量(t) = K*温度(t) + e
其中,t是自变量时间,降雨量(t)是因变量,而温度(t)则是协变量
K 为一个常数。

### Cox比例风险回归模型中的残差图 在生存分析中,Cox比例风险回归模型是一种广泛应用的方法来评估多个因素对事件发生时间的影响。为了验证该模型的有效性和假设条件,绘制并解释残差图是非常重要的。 #### Schoenfeld残差图 Schoenfeld残差用于检验协变量效应随时间变化的情况。如果这些残差相对于时间呈现随机分布,则说明满足了比例风险假定;反之则可能违反此前提。对于每一个预测因子都可以计相应的Schoenfeld残差,并通过图形化展示来进行直观判断[^1]。 ```r library(survival) fit <- coxph(Surv(time, status) ~ age + sex, data=lung) schoen_resid <- resid(fit,type="scaledsch") plot(cox.zph(fit)) abline(h=0,lty=2,col='red') ``` 上述R代码展示了如何基于`survival`包拟合一个简单的Cox PH模型以及获取缩放后的Schoenfeld残差。最后利用内置函数`cox.zph()`生成对应的诊断图表,在其中添加水平线帮助识别趋势。 #### Martingale残差图 Martingale残差衡量的是观察到的结果与期望之间的差异程度。当个体经历事件时其值接近于零;而未经历过事件者通常具有负数范围内的较大绝对数值。这类残差有助于发现异常点或影响较大的观测对象[^2]。 ```r martin_resid <- resid(fit,type="martingale") par(mfrow=c(1,2)) hist(martin_resid,breaks=30,xlab="Martingale Residual",main="") boxplot(martin_resid~sex,data=lung,outline=F, ylab="Martingale Residual", main="Sex") ``` 这里提供了两种方式可视化Martingale残差:直方图可以查看整体分布形态;箱形图为不同类别下的比较提供便利工具。 #### Deviance残差图 Deviance残差是对原始数据进行标准化处理得到的一种形式,它综合考虑了存活时间和状态信息。正态性的偏离可以通过QQ图来检测是否存在潜在问题。此外还可以借助散点图探索自变量间的关系模式及其合理性[^3]。 ```r devi_resid <- resid(fit,type="deviance") layout(matrix(c(1,2),nrow=1)) qqnorm(devi_resid); qqline(devi_resid,col=2) plot(predict(fit), devi_resid, pch='.'); abline(h=0,v=median(predict(fit)),lty=2,col='blue') ``` 这段脚本先创建了一个包含两个子窗口的布局以便同时显示QQ图和平面投影视图。前者用来检查偏差是否近似服从标准正态分布;后者能够揭示预测得分同实际表现之间联系紧密与否。
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