超大素数积分解算

最新推荐文章于 2022-12-21 16:13:18 发布

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#素数积分解 #RSA素数分解

本文深入探讨了素数积分解的理论基础，包括数论定理如费马小定理、欧拉函数、同余定理等。介绍了RSA加密算法的原理，详细阐述了私钥获取、加密解密过程及其理论支持。同时，讨论了素数积分解的一种基础方法——平方差逼近法，并展示了如何通过数学推导逐步逼近素数积的分解。文章还提及了在实际计算中的一些技巧和注意事项，强调了在分解过程中对数论知识的理解与运用的重要性。

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素数积用到的定理

有分解较大的素数积之前我们必须先理解一些定理，这些定理有些来源于数论，部分来源于推导。所以理解这些定理之后，才能理解素数积分解的真正理论持。

数论定理

该定理出现在数论的相关著作中，可以查看《数论》并可以查看到相关的定理及证明。

费马小定理

若P是一个素数，则 $a^{P} \equiv a \mod P$ 。

或者可以变形为：

若P是一个素数，则 $a^{P-1} \equiv 1\mod P$ 。

欧拉函数

若N是一个素数，则 $\phi(N) = N-1$ 。
若N是两个素数积( $P\times Q$ )，则 $\phi(N) = (P-1)\times (Q-1)$ 。

同余定理1

若 $N\equiv1\mod A\land N\equiv1\mod B$ , 则 $N\equiv1\mod (A\times B)$ 。

同余定理2

若 $a\equiv b\mod e,\qquad c\equiv d\mod e$ ,则 $a\times c\equiv (b\times d)\mod e$ 。

推导定理

该定理并未出现在数论的相关著作中，但可以根据数论定理进行推导。

素数积定理1

若N是两个素数P和Q的乘积( $\times Q$ )，则 $a^{\phi(N)} \equiv 1 \mod N$ 。
证明过程：
$a^{\phi(N)} = a^{(P-1)(Q-1)}$
$a^{(P-1)(Q-1)}\mod P$
$=(a^{Q-1})^{P-1}\mod P$
$=1\mod P$ （费马小定理）
$\quad$
$a^{(P-1)(Q-1)}\mod Q$
$=(a^{P-1})^{Q-1} \mod Q$
$=1\mod Q$ （费马小定理）
同余定理
$a^{\phi(N)}\equiv1\mod P$ 且 $a^{\phi(N)}\equiv1\mod Q$
$a^{\phi(N)}\equiv1\mod(P\times Q)$
$a^{\phi(N)}\equiv1\mod N$

素数积定理2

若N是两个素数P和Q的乘积( $N=P\times Q$ )，则 $a^{k\times lcm(P-1,Q-1)}\equiv1\mod N$ 。
$l c m (p, q)$ ¹表示 $p$ 与 $q$ 的最小公倍数， $g c d (p, q)$ ²表示 $p$ 和 $q$ 的最大公约数

证明过程：
假定 $m = g c d (P - 1, Q - 1)$
$a^{lcm(P-1,Q-1)}=a^{\frac{(P-1)(Q-1)}{m}}$
$\quad$
$a^{\frac{(P-1)(Q-1)}{m}}\mod P$
$=(a^{\frac{Q-1}{m}})^{P-1}\mod P$
$=1\mod P$ (费马小定理)
$\quad$
$a^{\frac{(P-1)(Q-1)}{m}}\mod Q$
$=(a^{\frac{P-1}{m}})^{Q-1}\mod Q$
$=1\mod Q$ (费马小定理)
同余定理
$a^{lcm(P-1,Q-1)}\equiv1\mod P\land a^{lcm(P-1,Q-1)}\equiv1\mod Q$