《算法零基础100讲》之 第五十七讲：动态规划优化（斜率优化）

第五十七讲：动态规划优化（斜率优化）

内容概述

斜率优化是一种用于优化动态规划问题的技术，特别适用于那些状态转移方程中包含线性函数的情况。通过使用斜率优化，可以将动态规划的时间复杂度从O(n^2)优化到O(n log n)或O(n)。

关键概念

• 斜率优化：通过维护一个凸包（通常是下凸包或上凸包）来优化动态规划的状态转移。
• 状态定义：dp[i] 表示以位置 i 结尾的子问题的解。
• 状态转移方程：根据具体问题定义状态转移方程。
• 初始条件：通常初始化前几个元素的情况。
• 计算顺序：通常从左到右进行计算。

示例问题：最小费用最大流

给定一个整数数组 a 和一个整数 k，求最小化 sum(a[i] * x[i]) + k * x[i]，其中 x[i] 是一个二进制变量（0或1），且 sum(x[i]) = m。

状态定义

dp[i][j] 表示前 i 个元素中选择 j&