加权中位数应用：油井加权的输油管道位置选取

普通的输油管道问题: 某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经(或南或北)与主管道相连。如果给定n口油井的位置, 即它们的x坐标（东西向）和y坐标（南北向）, 应如何确定主管道的最优位置, 使得各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置。

油井加权的输油管道问题：若考虑每个油井带有一个权重，求解目标变为加权距离和最小。假设最优位置为P，那么应该有如下不等式成立：

$\sum D(i)d(i,P)\leq\sum D(i)d(i,R), i\neq P, i\neq R$

其中$D(i)$为油井权重，$d(i,p)$为油井到输油管道的距离，$\sum D(i)d(i,P)$为所有油井到输油管道的加权距离和, $P$为最优位置，$R$为输油管道的其他位置。

有以下等式成立：
$\sum D(I)d(I,P)+\sum D(J)d(J,P)+\sum D(R)d(R,P)\leq$

$\sum D(I)d(I,R)+\sum D(J)d(J,R)+\sum D(P)d(P,R)$, 其中$I<P<R<J$，$I、J$为油井位置，$P、R$为输油管道位置。

移项：

$\sum D(I)d(I,P)-\sum D(I)d(I,R)\leq \sum D(J)d(J,R)-\sum D(J)d(J,P)+\sum D(P)d(P,R)-\sum D(R)d(R,P)$

整理：
$\sum D(I)\left \{d(I,P)-d(I,R)\right\} \leq \sum D(J)\left \{d(J,R)-d(J,P)\right\}$

简化：

$\sum D(I) \leq \sum D(J)$。

未完，还需参考下算法导论。到这推不动了。