错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。

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简介

如果数列的各项是由一个 等差数列 和一个 等比数列 的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的

举例

例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）

当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；

当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；

两式相减得(1-x)Sn=1+2[x+x^2+x^3+x^4+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；

化简得Sn=1/1-x+(2x-2x^n)/(1-x)^2-(2n-1)*x^n/1-x

错位相减法解题

错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。

这是例子：

S=a+2a^2+3a^3+……+(n-2)a^(n-2)+(n-1)a^(n-1)+na^n （1）

在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下：

aS= a^2+2a^3+3a^4+……+(n-2)a^(n-1)+(n-1)a^n+na^(n+1) （2）

用（1）—（2），得到等式（3）如下：

（1-a）S=a+(2-1)a^2+(3-2)a^3+……+(n-n+1)a^n-na^(n+1) （3）

（1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1)

S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n用这个的求和公式。

（1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1)

最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。

例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）

解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;;

当x不等于1时，Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方

所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方

所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方。

化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方

Cn=(2n+1)*2^n

Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n

2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)

两式相减得

-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)

=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)

=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)

=(1-2n)*2^(n+1)-2

所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2

错位相减法

这个在求 等比数列求和公式 时就用了

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

两边同时乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

例题1

已知等比数列an中，a1=3，点(an，an+1（角码，

后不解释）)在直线y=x+2上

①求数列an的通项公式

②若bn=an×3的n次方，求数列前n项和Tn

解：①点（an,an+1)在直线y=x+2上，an+1=an+2（2为常数）

即an+1-an=2.所以an是以3为首项，2为公差的等差数列

②bn=an×3的n次方，bn=(2n+1)×3的n次方

Tn=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1)×3的n-1次方+（2n+1)×3的n次方……一

3Tn=3×3²+5×3³+…+（2n-1)×3的n次方+（2n+1)×3的n+1次方……二

一减二得 9+2×(9(1-3的n-1次方）\1-3)-(2n+1)×3的n+1次方=-2n×3的n+1次方

所以Tn=n×3的n+1次方