2014百度之星复赛解题报告： FindNumbers

最新推荐文章于 2018-08-02 14:22:54 发布

洛阳纸迷

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本文介绍了一个关于从特定数量的非负整数中找出一部分数的问题，这些数的总和能够被选定数目整除。文章详细阐述了利用分治策略解决此问题的方法，并给出了完整的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

FindNumbers

时间限制：5s 内存限制：65536K

问题描述：

给n 个非负整数，满足对于某正整数k ，n=2^k-1 。从中选出(n+1)/2 个数，使得它们的和是(n+1)/2 的倍数。

输入

第一行，T ，询问个数。

下面2T 行，每两行是一个询问。对于每两行：

第一行，n 。

第二行，n 个整数，a_0, a_1, ..., a_{n-1} 。

1<=T<=20

1<=n<=2^15

0<=a_i<=10^9

输出

对第i 个（1<=i<=T ）询问的回答为两行，第一行为编号：

Case #i:

第二行为结果：

如果不能选出这样的(n+1)/2 个数，输出-1 ；

否则输出一行，用一个空格分隔的(n+1)/2 个数b_0, b_1, ..., b_{(n+1)/2-1} 。满足b_i 两两不同，且sum(a_{b_i}) 是(n+1)/2 的倍数。如果有多解，输出任意一个。

样例输入

1 3 5

0 1 2 3 4 5 6

样例输出：

Case #1:

0 2

Case #2:

0 2 4 6

解题报告 – FindNumbers

鉴于n=2^k-1（k为正整数），因此由归纳法可证明必有解。

证明：

归纳基础：对于k=1 ，显然成立，

归纳假设：假定对于任意正整数k ，有解。

归纳推理：考虑对于n=2^(k+1)-1 的情形，我们可以将a[0..n-1] 分为a[0..2^k-2] 和a[2^k-1..n-2], 由归纳假设可得：

从a[0..2^k-2]中我们可以挑出(m+1)/2个数b1[0..(m-1)/2]，满足sum{b1[0..(m-1)]}=r*(m+1)/2，其中m=2^k-1，r为某个非负整数。

从a[2^k-1..n-2]中我们可以挑出(m+1)/2个数b2[0..(m-1)/2]，满足sum{b2[0..(m-1)]}=s*(m+1)/2，其中m=2^k-1，s为某个非负整数。

从a-b1-b2中（含|a-b1-b2|=m个非负整数）我们可以挑出(m+1)/2个数b3[0..(m-1)/2]，满足sum{b3[0..(m-1)]}=t*(m+1)/2，其中m=2^k-1，t为某个非负整数。

由于r,s,t三个非负整数中必有两个奇偶性相同，从而{(r+s),(s+t),(r+t)}中必有某个为2的倍数。若(r+s)%2==0, 则可将b1和b2合并得到m+1=(n+1)/2个非负整数且sum{b1,b2}=(r+s)*(m+1)/2=(r+s)/2*(m+1)=(r+s)/2*(n+1)/2，为(n+1)/2的倍数。其他情况同理可得。

证毕

由上述证明，可得到分治算法，先将a分为a[0..(n-1)/2-1]和a[(n-1)/2..n-2],递归分别求得b1和b2, 如果sum{b1+b2}满足条件，则返回，否则对a-b1-b2递归，求得b3，如果sum{b1+b3}满足条件，则返回，否则sum{b2+b3}必满足条件，返回。易见该算法复杂度为O(nlogn)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cassert>
#include <ctime>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <string>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
//#include <sys/time.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back

typedef pair<vector<int>, int> PVI; 

#define N 65555
int a[N]; 

vector<int> comb(const vector<int>&a, const vector<int>&b) {
        vector<int> c; 
        int l = 0, r = 0; int n = (int) a.size(); 
        while (l < n && r < n) {
                if (a[l] < b[r]) c.pb(a[l++]); 
                else c.pb(b[r++]); 
        }
        while (l < n) c.pb(a[l++]);
        while (r < n) c.pb(b[r++]);
        
        return c; 
}

PVI ff(const vector<int>&p) {
        int n = (int) p.size(); int m = (n+1)/2; 
        if (n == 1) return mp(p, a[p[0]]); 
        vector<int> p1, p2; 
        for (int i = 0; i < n/2; i ++) p1.pb(p[i]); 
        for (int i = n/2; i < n-1; i ++) p2.pb(p[i]); 
        PVI s1 = ff(p1), s2 = ff(p2); 
        if ((s1.se + s2.se) % m == 0) return mp(comb(s1.fi, s2.fi), s1.se + s2.se); 
        
        vector<int> p3; int l = 0, r = 0; 
        
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
                while (l < (n+1)/4 && s1.fi[l] < p[i]) l ++; 
                while (r < (n+1)/4 && s2.fi[r] < p[i]) r ++; 
                if ((l == (n+1)/4 || s1.fi[l] > p[i]) && (r == (n+1)/4 || s2.fi[r] > p[i])) p3.pb(p[i]);
        }
        
        PVI s3 = ff(p3); 
        if ((s1.se + s3.se) % m == 0) return mp(comb(s1.fi, s3.fi), s1.se + s3.se); 
        if ((s2.se + s3.se) % m == 0) return mp(comb(s2.fi, s3.fi), s2.se + s3.se); 
}

int main()
{
//    timeval start;
//    gettimeofday(&start, NULL);
    int T;
        scanf("%d", &T); 
    for (int c = 1; c <= T; ++c) {
                int n; scanf("%d", &n); 
                int m = (n+1)/2; 
                for (int i = 0; i < n; i ++)
                        scanf("%d", a+i), a[i] %= m; 
                vector<int> p; 
                for (int i = 0; i < n; i ++) 
                        p.pb(i); 
                vector<int> s = ff(p).fi; 
        printf("Case #%d:\n", c);
                for (int i = 0; i < (n+1)/2; i ++) 
                        printf ("%d%c", s[i], i == n/2 ? '\n': ' '); 
        }
 //   timeval end;
 //   gettimeofday(&end, NULL);
 //   double duration = ((long long) end.tv_sec * 1000000 + end.tv_usec - (long long) start.tv_sec * 1000000 + start.tv_usec) / 1000000.0;
 //   fprintf(stderr, "%.1fsec\n", duration);
        return 0;
}