2014百度之星复赛解题报告：The Patterns_百度之星game题解-优快云博客

The Patterns

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问题描述：

对于一个1到n的全排列Q，我们定义Q对应的字符串SQ,其中

例如对于n=5,Q=32154, SQ=DDUD。

本任务为给定一个仅包含字符’U’与’D’长度为m的模式串P以及一个正整数n，求解1到n的任意全排列中模式串出现次数的期望值。例如某个SQ=UUU,P=UU,则P出现次数为2次。

例如n=3,P=U,则1到n的所有全排列方案对应的模式串P出现次数分别为

Q	SQ	P出现次数
123	UU	2
132	UD	1
213	DU	1
231	UD	1
312	DU	1
321	DD	0

则1到n的任意全排列中模式串出现次数的期望值

为了避免浮点数精度误差，请输出

，其中mod为取模操作，具体定义以及运算规则参见：链接地址

输入
输入数据第一行为一个整数T（1 <= T <= 3333），表示有 T 组测试数据。

下面T组数据，每组数据第一行包含2个正整数n, m，接下来一行包含一个字符串P(仅包含字符’U’与’D’)

数据规模:1 <= m <= 1000 m<n<=1000000

输出

对于第k组数据，第一行输出Case #k:，第二行输出

。

样例输入

4 3

UUU

4 2

10 8

UUUUDDDD

2 1

样例输出

Case #1:

Case #2:

Case #3:

1400

Case #4:

Case #5:

解题报告：

首先计算n=m+1的情况下，1到n的所有全排列中能匹配P的次数。令其为A，则此时期望为

令事件X_i表示在某个排列Q的第i个元素开始，之后的m+1个元素符合模式串P。则

根据期望的线性

则

因此只需要求解得到A即可得到答案。

计算A采用动态规划算法

f[i,j] 表示前 i 个数字，最后一个数字所在前i个数字中的排名为j (排名从1开始)

则有

f[1,1] = 1

for i = 2..m + 1

for j = 1..i

if p[i-2] == 'U'

f[j]= f[i-1][j-1]+f[i-1][j-2]+…+f[i-1][1];

else

f[j]= f[i-1][j]+f[i-1][j+1]…f[i-1][i-1];

时间复杂度为O(m^3)

而通过部分和优化可以优化到O(m^2)

解题代码：

#include <functional>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cassert>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <list>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int P = (int)1e9 + 7 ;

const int MAXN = 1234;

int count( char a[], char b[]) {
        int ret = 0;
        int rem = strlen(a);
        int m = strlen(b);
        
        for(int i = 0; a; ++ i, -- rem) if(rem >= m){
                bool ok = 1;
                for(int j = 0; b[j]; ++ j) {
                        if(a[i+j] != b[j]) {
                                ok = 0;
                                break;
                        }
                }
                if(ok) ret ++ ;
        }
        return ret;
}

int a[ MAXN ];
LL f[ MAXN ][ MAXN ] , g[ MAXN ][ MAXN ];

void inc( LL &a, LL b) {
        b%=P;
        if(b<0) b+=P;
        a += b;
        if(a>=P) a-= P;
}

LL dp( int m, char p[]){
        
        f[1][1] = 1 ;
        g[1][0] = 0;g[1][1] = 1;
        
        for(int i = 2; i <= m + 1; ++ i) {
                g[0]=0;
                for(int j = 1; j <= i; ++ j) {
                        if( p[i-2] == 'U') {
                                f[j] = g[i-1][j-1];
                        }else {
                                f[j] = ((g[i-1][i-1] - g[i-1][j-1])%P+P)%P;
                        }
                        g[j] = (g[j-1] + f[j])%P;
                }
        }
        LL ans = 0;
        for(int i = 1; i <= m + 1; ++ i) inc( ans , f[m+1]);
        return ans;
}

LL bf(int n, int m, char p[]){
        char s[MAXN];
        s[n-1]=0;
        LL ans = 0;
        
        for(int i = 0; i < n; ++ i) a=i;
        do{
                for(int i = 0; i < n-1 ; ++ i)
                        s = (a<a[i+1]?'U':'D');
                ans += count( s , p ) ;
        }while(std::next_permutation(a,a+n));
        
        return ans;
}

LL bf_solve( int n, int m, char p[]) {
        LL _one = bf(m+1,m,p) * (n-m);
        for(int i = m+2; i <= n; ++ i) _one *= i ;
        return _one;
}

LL my_solve( int n, int m, char p[]) {
        LL _one = dp(m,p) * ((LL)n-m)%P;
        for(int i = m+2; i <= n; ++ i) _one =_one* i%P ;
        return _one;
}

void bf_check(){
        int n, m;
        char p[MAXN];
        for(n = 2; n <= 9; ++ n) {
                for(m = 1; m < n; ++ m) {
                        p[m]=0;
                        for(int s = 0; s < (1<<m); ++ s) {
                                for(int i = 0; i < m; ++ i) p=(s&(1<<i))?'U':'D';
                                cout << n <<" " << m <<" " << p << endl;
                                LL _a = bf( n, m, p ) ;
                                LL _b = my_solve(n,m,p);
                                cout << _a << endl;
                                if(_a == _b) {
                                        static int cas = 0; ++ cas;
                                        cout <<"correct @" << cas << endl;
                                }else {
                                        cout << "error!" << endl;
                                        return;
                                }
                        }
                }
        }
}

char p[ MAXN ];
int n, m ;

int main() {
        //bf_check();
        int T;
        int K = 1;
    cin >> T;
        while(T -- ) {
                scanf("%d%d%s", &n, &m, p);
                printf ("Case #%d:\n%d\n" , K++, (int) my_solve(n,m,p) );
        }
        return 0;
}