USTCOJ 1239 God Created The Integers

这是我的第一篇博客，现在正在努力学习编程语言中，以此记录学习心得。

题目链接：http://acm.ustc.edu.cn/ustcoj/problem.php?id=1239;

题目大意是要求计算一个与p有关Sp，然后模p后取逆即结果。
                             

其中p是4k+1型质数p > 10。

这题我们需要以下知识，原理。（主要是二次剩余）

1，-1是4k+1型质数的二次剩余。（利用欧拉判别法（-1）^ （（p - 1）/ 2）= 1， 所以是二次剩余）， 所以如果i是二次剩余，p - i

也是二次剩余。

2， 利用拓展欧几里得算法求逆。

3，1^2 + 2^2 + ......+n^2 = (2n + 1)(n + 1)n / 6.

我们记 ri 为 i * i （mod p）的值

由于高斯函数性质[i*i / p] = i * i / p - ri / p；

所以Sp = （1^2 + 2^2 + ......+（（p - 1） / 2）^2） / p - （r1 + r2 + ...... + r(p - 1)/ 2） / p.

(我们把i 与 p - i 配对，和为p， 有（p - 1） / 4 对)

= （（p - 1）/ 2） * （（p + 1）/ 2） * p / 6 - （（p - 1）/ 4）* p / p

= p * （p – 1） / 24 + （p - 1）/ 4

= （p - 1）（p - 5）/ 24；

所以我们已经求得Sp的值，可以看出Sp （mod p） = 5 / 24；此处 5 / 24为连分数 .则Sp关于p的逆为 24 / 5.我们求5 的逆再乘以24即结果。于是只需要调用一次eEuclid（5， p），得倒5的系数。但是这个欧几里得算法只给出一个满足5 * x + p * y = gcd（5，p） = 1的解不保证在p的最小非负完系中，所以最后乘以24后再处理一下即可。

Euclid算法中，我用一个结构体保存结果，注意用long long类型避免过程中两个需要的系数超范围。其他数据类型用int更适合计算机运行。

代码如下：

 

#include<stdio.h>

struct Euclid
{
		int d;
		long long x, y;
};

 Euclid eEuclid(int p, int q)
{
		Euclid eu;

		if (q == 0)
		{
				eu.d = p;
				eu.x = 1;
				eu.y = 0;
				return eu;
		}
		else
		{
				eu.d = eEuclid(q, p % q).d;
				eu.x = eEuclid(q, p % q).y;
				eu.y = eEuclid(q, p % q).x - (p / q) * eEuclid(q, p % q).y;	
				return eu;
		}	
}

int main()
{
		int k = 1, t, re, p;

		scanf("%d", &t);
		while (t--)
		{
				scanf("%d", &p);
				re = 24 * eEuclid(5, p).x % p;
				if (re < 0)
						re += p;
				printf("Case #%d: %d\n", k++, re);
		}

		return 0;
}

总结：

感觉这个代码并非最优，应当有更快的求模逆的算法，OJ上也看到了0ms通过的大牛， 这个代码用了8ms，还是需要不断学习完善自己。加油！