概率论
一、 随机事件及其概率
(一)、 随机事件的几个概念
1、随机试验:满足下列三个条件的试验称为随机试验;(1)试验可在相同条件下重复进行;(2)试验的可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的;(3)每次试验哪个结果出现是未知的;随机试验以后简称为试验,并常记为E。
例如:E1:掷一骰子,观察出现的总数;E2:上抛硬币两次,观察正反面出现的情况;
E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件:在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为 A,B,C……
例如,在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件:每次试验必发生的事情称为必然事件,记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件,记为Φ。
例如,在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件:试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,……,“掷出6点”均为此试验的基本事件。
由基本事件构成的事件称为复合事件,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间:从集合观点看,称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.
例如,在E1中,用数字1,2,……,6表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集{1},{2},…{6}便是E1中的基本事件。在E2中,用H表示正面,T表示反面,此试验的样本点有(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}显然,任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如, 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2,4,6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。
例如,
在E1中,Ω={1,2,3,4,5,6}
在E2中,Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}
在E3中,Ω={0,1,2,……}
例1,一条新建铁路共10个车站,从它们所有车票中任取一张,观察取得车票的票种。
此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.(排列:和顺序有关,如北京至天津、天津至北京)
若观察的是取得车票的票价,则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合)
例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去,观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为
第一种方法用组合+乘法原理;第二种方法用排列
(二)、事件间的关系与运算
1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记为A B或B A。
例如,在E1中,令A表示“掷出2点”的事件,即A={2}
B表示“掷出偶数”的事件,即B={2,4, 6}则
2、相等:若A B且B A,则称事件A等于事件B,记为A=B
例如,从一付52张的扑克牌中任取4张,令A表示“取得到少有3张红桃”的事件;B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B
3、和:称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和,记为A B,或A+B
例如,甲,乙两人向目标射击,令A表示“甲击中目标”的事件,B表示“乙击中目标”的事件,则AUB表示“目标被击中”的事件。
推广:
有限个
无穷可列个
4、积:称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件,简称为积,记为A B或AB。
例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令A={接到偶数次呼唤},B={接到奇数次呼唤},则A B={接到6的倍数次呼唤}
推广:
任意有限个
无穷可列个
5、差:称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差,记为A-B。
例如,测量晶体管的β参数值,令A={测得β值不超过50},B={测得β值不超过100},则,A-B=φ,B-A={测得β值为50﹤β≤100}
6、互不相容:若事件A与事件B不能同时发生,即AB=φ,则称A与B是互不相容的。
例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯:若A={红灯亮},B={绿灯亮},则A与B便是互不相容的。
7、对立:称事件A不发生的事件为A的对立事件,记为 显然 ,A∩ =φ
例如,从有3个次品,7个正品的10个产品中任取3个,若令A={取得的3个产品中至少有一个次品},则 ={取得的3个产品均为正品}。
(三)、事件的运算规律
1、交换律 A∪B=B∪A; A∩B=B∩A
2、结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ;(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
3、分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A ∪C)
4、对偶律
此外,还有一些常用性质,如
A∪ B A,A∪B B(越求和越大);A∩B A,A∩B B(越求积越小)。
若A B,则A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等。
例3,从一批产品中每次取一件进行检验,令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}B={三次中至少有一次取得合格品}C={三次中恰有两次取得合格品}D={三次中最多有一次取得合格品}
解:A=A1A2A3 表示方法常常不唯一,如事件B又可表为
或
例4,一名射手连续向某一目标射击三次,令Ai={第i次射击击中目标} , i=1,2,3,试用文字叙述下列事件:
解:
A1A2A3={三次射击都击中目标}
A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}
例5,下图所示的电路中,以A表示“信号灯亮”这一事件,以B,C,D分别表示继电器接点,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,闭合,试写出事件A,B,C,D之间的关系。
解,不难看出有如下一些关系:
二 事件的概率
(一)、概率的定义
所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量,记为P(A)。规定P(A)≥0,P(Ω)=1。
1、古典概型中概率的定义
古典概型:满足下列两条件的试验模型称为古典概型。 (1)所有基本事件是有限个; (2)各基本事件发生的可能性相同; |
例如:掷一匀称的骰子,令A={掷出2点}={2},B={掷出偶数总}={2,4,6}。此试验样本空间为
Ω={1,2,3,4,5,6},于是,应有1=P(Ω)=6P(A),即P(A)= 。
而P(B)=3P(A)=
定义1:在古典概型中,设其样本空间Ω所含的样本点总数,即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数,即有利于事件A发生的基本事件数为NA,则事件A的概率便定义为:
例1,将一枚质地均匀的硬币一抛三次,求恰有一次正面向上的概率。
解:用H表示正面,T表示反面,则该试验的样本空间
Ω={(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}。
可见NΩ=8 令A={恰有一次出现正面},则A={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)}
可见,令NA=3 故
例2,(取球问题)袋中有5个白球,3个黑球,分别按下列三种取法在袋中取球。
(1)有放回地取球:从袋中取三次球,每次取一个,看后放回袋中,再取下一个球;
(2)无放回地取球:从袋中取三次球,每次取一个,看后不再放回袋中,再取下一个球;
(3)一次取球:从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。
解:(1)有放回取球 NΩ=8×8×8=83=512 (袋中八个球,不论什么颜色,取到每个球的概率相等)
(先从三个球里取两个白球,第一次取白球有五种情况,第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>,第三次取黑球只有三种情况)
(2)无放回取球 故
(3)一次取球
故
属于取球问题的一个实例:
设有100件产品,其中有5%的次品,今从中随机抽取15件,则其中恰有2件次品的概率便为
(属于一次取球模型)
例3(分球问题)将n个球放入N个盒子中去,试求恰有n个盒子各有一球的概率(n≤N)。
解: 令A={恰有n个盒子各有一球},先考虑基本事件的总数
先从N个盒子里选n个盒子,然后在n个盒子里n个球全排列
故
属于分球问题的一个实例:
全班有40名同学,向他们的生日皆不相同的概率为多少?令A={40个同学生日皆不相同},则有
(可以认为有365个盒子,40个球)故
例4(取数问题)
从0,1,……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成一列,求下列事件的概率:(1) 四个数排成一个偶数;(2) 四个数排成一个四位数;(3) 四个数排成一个四位偶数;
解:令A={四个数排成一个偶数},B={四个数排成一个四位数},C={四个数排成一个四位偶数}
,
,
例5(分组问题)将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人,分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少?
解:令A={有人手里有13张黑桃},B={有人手里有4张A牌}
于是
,故
不难证明,古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质:
1° P(A)≥0
2° P(Ω)=1
3° 若A1,A2,……,An两两互不相容,则
2、概率的统计定义
频率:在n次重复试验中,设事件A出现了nA次,则称:为事件A的频率。频率具有一定的稳定性。示例见下例表
试验者 |
抛硬币次数 n |
正面(A)出现次数nA |
正面(A)出现的 频率 |
德·摩尔根 |
2048 |
1061 |
0.518 |