北航面试之概率论部分

概率论

一、 随机事件及其概率

（一）、 随机事件的几个概念

1、随机试验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如：E₁：掷一骰子，观察出现的总数；E₂：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；

E₃：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。

2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C……

例如，在E₁中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。

例如，在E₁中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

例如，在E₁中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。

由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E₁中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.

例如，在E₁中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E₁中的基本事件。在E₂中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。

例如， 在E₁中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。

例如，

在E₁中，Ω={1，2，3，4，5，6}

在E₂中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}

在E₃中，Ω={0，1，2，……}

例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。

此试验样本空间所有样本点的个数为N_Ω=P ²₁₀=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）

若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为  (组合)

例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为

　　第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列

（二）、事件间的关系与运算 

1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A B或B A。 

 例如，在E₁中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}

B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4， 6}则 

 

2、相等：若A B且B A，则称事件A等于事件B，记为A=B

  例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B

 

3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A B，或A+B

  例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。

  推广： 

有限个  

         无穷可列个  

4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A B或AB。

例如，在E₃中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则A B={接到6的倍数次呼唤}

推广：

 任意有限个

       无穷可列个

5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。

  例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝

 

6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。

  例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。

 

7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为 显然 ，A∩ =φ

  例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的3个产品均为正品}。

 

（三）、事件的运算规律 

1、交换律   A∪B=B∪A；  A∩B=B∩A

2、结合律  （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

3、分配律  A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）

4、对偶律  

此外，还有一些常用性质，如

A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求积越小）。

若A B，则A∪ B=B, A∩ B=A  A-B=A-AB= A   等等。

例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令A_i={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝

解：Ａ＝Ａ_１Ａ_２Ａ_３    表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为

     或 

例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａ_i={第i次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：

解：  

  A₁A₂A₃={三次射击都击中目标}

  A₃-A₂={第三次击中目标但第二次未击中目标}

 

 

例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。

解，不难看出有如下一些关系： 

    

二 事件的概率

（一）、概率的定义

所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。规定P(A)≥0，P（Ω）=1。

1、古典概型中概率的定义

古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。 （1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同；

例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为

Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）= 。

而P（B）=3P（A）= 

定义1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N_Ω而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为N_A，则事件A的概率便定义为：

例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。

解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间

Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。

可见N_Ω=8 令A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）}

可见，令N_A=3   故 

例2，（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。

（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；

（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；

（3）一次取球：从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。

解：（1）有放回取球 N_Ω=8×8×8=8³=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)

（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况）

  （2）无放回取球 故 

  （3）一次取球

故 

 

属于取球问题的一个实例：

设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为

（属于一次取球模型）

例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。

解： 令A={恰有n个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数

先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列

故 

属于分球问题的一个实例：

全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令A={40个同学生日皆不相同}，则有

(可以认为有365个盒子，40个球)故 

例4（取数问题）

  从0，1，……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）  四个数排成一个偶数；（2）  四个数排成一个四位数；（3）  四个数排成一个四位偶数；

解：令A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数}

     

 ，

 ，

例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？

解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}

于是 

     ，故 

 不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：

1° P（A）≥0 

2° P（Ω）=1

3° 若A₁，A₂，……，A_n两两互不相容，则 

2、概率的统计定义 

频率：在n次重复试验中，设事件A出现了n_A次，则称：为事件A的频率。频率具有一定的稳定性。示例见下例表 

试验者	抛硬币次数 n	正面（A）出现次数nA	正面（A）出现的 频率
德·摩尔根	2048	1061	0．518