匈牙利算法学习笔记

匈牙利算法的正确性证明

匈牙利算法通过不断对当前匹配找增广路（交错轨），删去增广路上所有在当前匹配中的边，然后给当前匹配添加增广路上的其余边，就能使当前匹配数加一。一直重复这个操作，就能求出最大匹配。

证明用到两个引理。

引理一：假设当前匹配M所选的点集为V，那么一定存在一个最大匹配，其所选的点集是V的一个超集。

假设M已经是一个最大匹配，则已符合引理一。假设M不是最大匹配，那么任选一个最大匹配N，其所选的点集为U。

显然M中的每一条边，至少有一个端点在U中，因为如果两个端点都不在U中，那么给N加上这条边，就能得到一个更大的匹配，与N为最大匹配的假设不符。

那么对于M中的每条边，如果有一个端点a在U中，一个端点b不在U中，只需要先把N中a连的那条边删掉，再把ab加入N中即可。这个过程完成之后，U就成为了V的一个超集，同时N的匹配数也保持不变。引理一得证。

引理二：如果当前匹配M不是最大匹配，那么一定能找到一条增广路。

还是假设M所选的点集为V，根据引理一，一定有一个最大匹配N，其所选的点集U是V的一个超集。那么在N里面至少能找到一条边，使得边的两个端点至少有一个属于U和V的差集，从这条边开始，交错选择N和M中的边，选择方式如下：

1. 每选择一条N里面的边，就要选择一条M里面的边。
2. 如果上一条边为ab，那么下一条边就要选bc，也就是说相邻两次选择的边，要有一个点重合
3. 直到所选的边和上一条边不重合的那个点，不在V中，选择结束。

将选择的所有边连在一起，就是一条增广路。引理二得证。

如果当前匹配是最大匹配，那么一定找不到一条增广路，因为如果找到了，和当前匹配是最大匹配的假设不符，同时应用引理二匈牙利算法得证。

最小点覆盖等于最大匹配的证明

先找到一个二分图的最大匹配，那么最小点覆盖数等于最大匹配数。

对于图的每一条边，其两个端点至少有一个在最大匹配