主席树（静态区间k小值）

参考文献链接： https://blog.youkuaiyun.com/a_forever_dream/article/details/80450549

                          http://www.cnblogs.com/Empress/p/4652449.html

主席树是一种可持久化动态线段树，常用于求区间k小值问题。

其本质为建n棵前缀和线段树，也就是n个版本，第i个版本囊括区间[1~i]，这里的i指的是第i个数。那么求第l到第r个数的区间k小时，便可以转化为求query(r)-query(l-1)。

对于一个序列，进行排序和unique去重，得到一个长度为s的元素互不相同的数组，通过其下标离散化减小空间消耗。易得每颗线段树大小都为s，重复数字只需数量加一即可。

unique函数详解：https://www.cnblogs.com/wangkundentisy/p/9033782.html

但这并没有结束，若是对于n<=200000，每个i开一颗线段树，空间复杂度得上天。可以发现，第i棵线段树与第i-1棵并没有太多节点信息改变，实际上最多有logn个节点改变。所以，第i棵线段树可以与第i-1棵线段树共用信息相同的节点，可以省下大量浪费的空间。

附上洛谷P3834 【模板】可持久化线段树 1（主席树）代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tree[200001*40];
int ls[200001*40];
int rs[200001*40];
int rt[200001];
int a[200001];
int b[200001];
int n,m,cnt;
int build(int l,int r){
	int id=++cnt;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(l==r) return id;
	ls[id]=build(l,mid);
	rs[id]=build(mid+1,r);
	return id;
}
int update(int pre,int l,int r,int x){
	int id=++cnt;
	ls[id]=ls[pre];
	rs[id]=rs[pre];
	tree[id]=tree[pre]+1;
	if(l==r) return id;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid) ls[id]=update(ls[pre],l,mid,x);
	else rs[id]=update(rs[pre],mid+1,r,x);
	return id;
}
int query(int LT,int RT,int l,int r,int k){
	if(l>=r) 
	return l;
	int mid=(l+r)>>1;
	int sum=tree[ls[RT]]-tree[ls[LT]];
	if(sum>=k) return query(ls[LT],ls[RT],l,mid,k);
	else return query(rs[LT],rs[RT],mid+1,r,k-sum);	
}
int main(){
	int x,y,k;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=a[i];
	}
	sort(b+1,b+n+1);
	int s=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
	rt[0]=build(1,s);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int d=lower_bound(b+1,b+s+1,a[i])-b;
		rt[i]=update(rt[i-1],1,s,d);
	} 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
		printf("%d\n",b[query(rt[x-1],rt[y],1,s,k)]);
	}
}

PS：主席树时间复杂度为O((n+m)logs)，建树为O(nlogs)，修改为O(logs)，s为去重后的元素个数。

        空间复杂度为O(nlogn+nlogn)，空树O(nlogn)，加树(logn)。

动态主席树待续...