python 实现 AIGC 大模型中的概率论:生日问题的基本推导

在上一节中，我们对生日问题进行了严谨的阐述：假设屋子里面每个人的生日相互独立，而且等可能的出现在一年 365 天中的任何一天，试问我们需要多少人才能让某两个人的生日在同一天的概率超过 50%。

处理抽象逻辑问题的一个入手点就是先形象化，简单化和实例化。首先不难理解一年只有 365 天，如果屋子里有366 人，那么一定有两个人的出身日期在同一天，此时概率是 100%。如果屋子里只有 1 个人，那么有两个人同一天生日的概率就是 0。试想如果屋子里有 183 人（365 的一半），这些人的生日不重复，于是这种情况将 365 天分成了相当的两部分，一部分属于那 183 人的生日，另一部分不属于 183 人的生日，此时进入第 184 人，这个人的生日只有两种可能，落入第一部分或者第二部分，由于两部分的天数一样多，那么他落入哪一部分的可能性都相同也就是 50%，如果落入第一部分，那么我们就得到两个人有相同生日的情况。由此可见，确切的答案一定在[2,184]之间。

此外解决逻辑问题，特别是算法问题，还有一种有效方法就是暴力破解。也就是我们把所有可能的情况一一罗列出来，找出合适的那个，然后再看看有没有好的方法改进暴力破解法。假设屋子里有 n 人，那么我们罗列出他们所有可能的生日情况，把这些情况中有出现重复的部分抽取出来。在简单情况下，屋子里只有 2 人，每个人的生日可能是 365 天中某一天，于是这两个人可能的生日组合是 365 * 365 = 133,225种情况（注意问题假设，屋子里人的生日相互独立）。 在这么多种组合中，两个人生日在同一天的情况有多少种呢？如果第一个人选定某一天后，第二个人必须跟他一样，由于第一个人只有 365种选择，因此两人生日相同的情况有 365 * 1 = 356 ，于是屋子里有 2 个人时，出现同一天生日的概率是 365 / (365 * 365) = 1 / 365 = 0.27%.

如果屋子里有 3 个人，那么生日情况就有 365 * 365 * 365 = 48,627, 125 种。这种情况比较复杂的是，如何考虑有两个人出现重复生日的情况，稍微大意就会出错。这里我们虽然考虑有两个人生日相同，但如果 3 个人同时生日相同，这种情况也能满足题目要求，所以不能遗漏，3 个人生日相同的情况数量就是 365 * 1 * 1 = 365种。除去 3 人同时生日相同的情况后，我们就能考虑只有 2 人生日相同的情况，如果假设前两个人生日相同，第 3 个人与前两个人不同，那么满足条件的情况就是 365 * 1 * 364 = 132,860，同理第 2 第 3 人生日相同，但第一人与后两人不同的情况也是365 * 1 * 364 = 132,860，最后第 1,3 两人生日相同，第 2 个人跟其他两个不同的情况也是365 * 1 * 364 = 132,860，由此屋子里有 3 个人，其中出现两个人生日相同的情况总数就是 132,860 + 132,860+132,860 + 365，由此对应概率就是（132,860 + 132,860+132,860 + 365）/ 48,627, 125 = 0.82%。

我们上面的枚举方法非常容易出错。要不就是多算了某种情况，要不就是少算了某种情况。例如三个人有相同生日时，我们只能将其算一次，我们不能把他看成第一第二个人生日相同算一次，然后第二第三个人生日相