如何在生活中培养数学思维习惯？

什么是数学思维？数学思维是一种通过抽象、逻辑推理和模式识别，将复杂问题分解并系统化，从而高效解决问题和做出理性决策的思考方式。在人工智能时代，抽象思维、分析能力和决策力已成为无可替代的竞争力。

数学思维的重要性已经毋庸置疑，那么如何用一本书让即便是数学基础不好的人也能学会数学思维呢？阿尔伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）的这本《人人都用得上的数学：生活和工作中的数学思维》就做到了这点，这本书不讲公式，生动的比喻和案例让数学思维变得直观有趣，帮你从“思维混乱”走向“头脑清晰”。

在书中，我们将学习抽象思维、分析思维、批判性思维、创造性思维等数学思维方法，学会如何分解复杂问题、有效纠错、逻辑推理和识别模式，这些技能在日常生活和职业发展中至关重要。教你运用概率统计、逻辑推理等数学工具，在考试、工作、购物、理财等场景中做出更理性的选择。

来源 | 《人人都用得上的数学：生活和工作中的数学思维》

作者：[美] 阿尔伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

作者 | 谈天星

任何一个成年人若是被问及对数学作何感想，除少数数学爱好者外，大多只能给你个不冷不热的回应。他们大概会说：“嗐！我可不喜欢数学。”或者说：“我数学一直很烂！我还是更擅长阅读（或是艺术、音乐、写作、体育……）。”再或者说：“高中那会儿，数学课超无聊，我总跟小伙伴传纸条。”

我们有千百种讨厌数学的理由：或许是题海战术让我们烦得想哭；或许是我们在高中时代想要融入某个小团体，于是说服自己，我们不喜欢数学〔想想林赛·罗韩（Lyndsay Lohan）在《贱女孩》（Mean Girls）中饰演的角色〕。

甚至，我们曾经喜欢过数学，却在代数课上遇见了那个人见人嫌的“火车问题”。大多数人可能以为自己并不擅长数学，从小学起就开始相信，自己不是“学数学的料”。

但什么才叫“学数学的料”呢？如果我告诉你，你也能学好数学呢？其实谁都可以是学数学的那块料。本书第二部分会让你相信，你有能力，也应该学会像数学家那样思考，并将向你展示该如何做。

关于什么是“学数学的料”，许多人心中都会有个概念。或许是数学课上举手最快的那个小孩，或许是总去黑板前求解证明题的那位同学，或许是中学里的数学竞赛选手，又或许是学习大学水平课程的高中生。

当然，其中可能有一两位长大后解决了过去悬而未决的问题，继而震惊全球数学圈。其余人大概率并未给数学领域带来什么革新，只是在学生时代，或是更长久的岁月里，一直喜欢着数学。

他们缘何喜欢数学？又是什么样的思维习惯让他们在数学上取得了成功呢？

这些人知道如何像数学家一样思考。或许他们天生就偏爱逻辑思维，或许他们得到了优秀师长的教导，抑或他们年少时便深爱数学，于是大脑得到了锻炼。而关键就在于，他们学会了像数学家一样思考，你也可以。

你在高中时可能并未意识到，其实数学家与艺术家、音乐家，以及其他创新思考者有许多共同之处。数学是一个富有创造性的领域，它涉及可视化、寻找模式、提出假设，以及做实验。

你在校园里学到的内容，比如背诵乘法表，或是按步骤解决代数问题，和数学家的创造性思维都无甚关联。鉴于学校教授数学的方式与真正的数学相去甚远，许多数学教育者都在呼吁教学改革。

2009 年，数学教师保罗·洛克哈特（Paul Lockhart）撰写了《一个数学家的叹息：如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界》（A Mathematician’s Lament:  How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and  Imaginative Art Form）。这本小书已成为许多数学教育改革者的基础读物。

洛克哈特在该书中主张，数学是类似于音乐或绘画的艺术形式，不过这一观点尚未得到认可。他对美国教育体制提出了批判：“其实，如果非要我设计出一种机制，专门用来扼杀孩子们天然的好奇心，以及对模式创作的热爱，我做不到现有教育体系这种程度。我压根儿就想象不出那些空洞无物、压制灵魂，却构成了当代数学教育的理念。”

洛克哈特在该书中将数学教育比作在学校里一味记背乐理，却未曾真正听过音乐。如果说，大家在上小学时学习数学只是进行了一系列记忆行为，并未体验过数学的艺术性与创造力，那我们不免要重新思考，怎样才算是学数学的料。

我们当中有太多人自小便对数学失去了兴趣。如果那时能够真正认识数学，我们会爱上它的。你或许并不常听人这样说：“音乐啊？哎呀，好无聊。我不是学音乐的料。”

数学是一门艺术——这是属于数学家的秘密。他们知道自己从事数学研究，便如音乐家打磨乐曲、艺术家造就杰作一般。保罗·麦卡特尼（Paul McCartney）声称，《昨天》（Yesterday）的旋律源于梦境，这是甲壳虫乐队最美的乐曲之一：

在 1998 年为其出版的传记《多年以后》（Many  Years From Now）中，他告诉作者巴里·迈尔斯（Barry  Miles）：“当我醒来时，我的脑海中有一段美妙的旋律。我心想，真好听，这是支什么曲子呢？我身旁有架钢琴，就在床的右边，靠着窗户。下床后，我在钢琴前坐下，奏出了 G 和弦，接着是升 F 小七和弦，而后从 B和弦转向 E 小三和弦，最终回到 E 和弦。整个过程流畅自然。我很喜欢这段旋律，只不过，因为是在梦中遇见的，我都不敢相信这是我写出来的。”

同样，也有数学家声称，他们在睡梦中取得了重大数学发现。印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）坚信，是印度女神通过梦境将方程传授于他；据称，法国数学家勒内·笛卡儿（Rene Descartes）早晨躺在床上时，会在半梦半醒间萌生出绝佳的想法，他发明了以自己的姓氏命名的笛卡儿坐标系，也就是标准的二维坐标系。在睡着时或是刚醒时，人处于放松状态，因而大脑可以对清醒时所专注的问题进行创造和构思，形成相关的想法。

最近的神经科学研究表明，大脑中用于处理数学和语言的区域是不同的。在 2016 年的一项研究中，两位法国神经科学家阿马尔里克（Amalric）和德阿纳（Dehaene）发现，我们的大脑会在几乎同一区域处理高等数学以及解决问题，而这些区域与处理语言的大脑区域没有重叠。这就可以解释，为什么据称爱因斯坦曾说：“当我进行思考时，文字和语言，无论是书面的还是口头的，似乎都起不到任何作用。”

最为关键的是，这两位法国神经科学家还发现，我们上小学时所学习的那种简单数学也是由同样的大脑区域处理的。

研究结果表明，当数学家面对其专业领域中的论点或问题时，大脑中的一系列区域，包括左右半球的前额叶皮层、顶叶皮层和下颞叶，就会被激活。普通人在处理数据、做加减运算，或是看见写在纸上的数学公式时，也是调用这些脑区。

数学家的大脑处理高等数学就和任何人做加减运算是一样的。这是一项革命性的发现。这表明，我们都能成为数学家，或者至少可以像他们一样思考。这也证明了“智人对时空与数有着与生俱来的认知”。

于我们而言，这又意味着什么呢？我们可是不大可能会取得革命性数学发现的普通人。这并不意味着，我们随便睡一觉，就能盼着某个发现会在梦中突然降临。你不可能一夜之间就跳出寻常人的生活，变成知名数学家（或是作曲家）。但你可以训练自己的大脑，像数学家一样思考。这正是本书所要探讨的内容。

数学家的大脑并非专为解决复杂数学问题而设计，我们也不是只能停留在基础的乘法表上。二年级的小孩学数学时用到的脑区和拉马努金还有笛卡儿是一样的。当然，并不是谁都能成长为拉马努金或是笛卡儿，就好像不是每个音乐家都能成为下一个保罗·麦卡特尼，但我们的大脑中都有用于处理数学的必备区域。

那数学家为何会与众不同呢？除却一定的天赋外，他们还建立了数学家独有的思考方式。他们练就了相应的技能以追寻自己所热爱的艺术。他们大多会为这门艺术倾注大量的时间。他们会与旁人交流，接触新思想，钻研问题，他们甚至会在睡梦中思考解决方案。

我们再来细聊一下保罗·麦卡特尼的那则趣闻。

保罗可不是光靠学习钢琴上的音符，就在一夜之间写出了《昨天》的曲谱。他学会了音乐的语言（乐谱上的音符意味着什么，如何阅读并演奏和弦，什么是好的和声），然后进行了大量的思考。他的大脑得到锻炼，从而建立了音乐家的思维模式。我们可以猜想，他会将一天中的大部分时间用于对音乐的思考。

研究人员和教育工作者早已知晓，培养一个人像数学家一样思考是可行的。至于如何实现这一点，尚有争议。改革数学教育的尝试可追溯至数十年以前〔汤姆·莱勒（Tom Lehrer）在 1965 年写过一首歌，叫《新数学》（New Math）a〕。1996 年（洛克哈特的《一个数学家的叹息》问世以前），一篇关于数学“思维习惯”的重要文章要求进行数学教育改革，以期更为准确地呈现数学家在做什么，是如何思考的。作者们在开篇即指出：“过去的经验告诉我们，等今天的一年级小学生高中毕业的时候，很可能会面临如今尚不存在的问题。”

与 21 世纪科技革命以前的 1996 年相比，当下更是如此。作者们认为，数学教育一直就是让学生记忆“一堆事实”。

他们呼吁对数学教育进行彻底的改革，所以文章中关注的并非数学家推演出了什么事实，而是他们的思维习惯。作者们提议，应当教会学生思考，而非对其灌输数学家的思想。他们写道：

我们设想的课程会将创造数学的方法与研究人员使用的技术提升至与研究结果同等的地位。我们并非要将大批高中生培养成大学里的数学家，而是希望帮助高中生学习并采用数学家思考问题的一些方式。

作者们希望，教育能塑造出对模式敏锐、会做实验、能把问题讲清楚、有匠心、有创造力、有想象力、能提出猜想与假设的一群人。传统观念则与此截然不同，认为数学就是需要记记背背的基础算术。

为阐明如何教授数学思维， 2010 年美国首次颁布的《共同核心州立数学标准》（“Common Core State  Standards for Mathematics”）列出了八项数学实践标准（SMPs），可与学生在 K-12 教育阶段中学习的数学概念同时进行教学。有时，它们会被写成更适合孩子的语言；甚至于，你会在孩子教室的墙上看见写有这些实践内容的彩色海报。这八项实践标准如下：

1. 理解问题，锲而不舍地解决问题；

2. 进行抽象和定量推理；

3. 构建可行的论证，评判他人的推理；

4. 建立数学模型；

5. 战略性地使用合适的工具；

6. 注重精确性；

7. 寻找结构，加以利用；

8. 在重复推理中寻求规律，表达规律。

参照这些实践标准，即便没有正规的数学知识，你也能像数学家一样思考。数学家所做的事情就是运用逻辑、探寻模式、抽象推理，即便遇到难题也绝不放弃，并坚持不懈地寻求解决方案（说不定人家会去睡一觉，在梦里继续求解）。显而易见，像数学家一样思考对于我们个人和整个社会都大有裨益。这些都是21 世纪所需的技能。

当我们希望凭借数学来应对 21 世纪的问题时，就会知道不能仅凭字面意思来理解爱因斯坦的话。虽说大脑中用于处理语言和数学的区域是不同的，但我们学习数学时仍然需要语言。说不定你就是那种会被代数中的文字题劝退的人。我不会让你把文字题撕了，扔出窗外。文字题，尤其是实际生活中的问题，对于数学教育至关重要。

你在数学课上看到的问题大多与现实生活没什么关系。说不定你还记得自己在初二时向老师抱怨过：“可我什么时候才会需要知道这个呢？”数学课上的许多问题都是人为设定的。你不大可能上了某趟火车，朝着某个方向前进，然后需要计算出何时会与另一列反向行驶的火车相遇。但在日常生活中，你会遇到各种各样的数学问题，你可能甚至都没意识到那些就是数学。

你喜欢领优惠券吗？如果你正在合计自己的购物预算，盘算着能省下来多少钱，那就是在做数学呀。

你是不是会瞅两眼手机，想知道电量还能撑多久？这可不就是在做数学嘛。你有没有粉刷过住宅或是公寓的墙壁？你得算出要买多少油漆。这也是数学。

当然，这些并不是最为激动人心的数学问题（爱因斯坦大概不会去琢磨墙壁的面积），却都是现实生活中涉及数学思维的问题。你可能每天都在以未曾意识到的方式运用着数学。接下来就要搞清楚数学思维到底意味着什么，然后利用好这些技能，去应对 21 世纪更具挑战性的问题。

如果你去问教育工作者，21 世纪的学生需要什么样的技能，你会得到各种各样的答案。人们大多会提到科技，以及在面对源源不断的信息时，需要对相关的和不相关的内容加以区分。显然，谁也不知道我们将来会需要什么样的技能，但我们无比确信，肯定不是传统上在校园里学到的那些技能。（因此，从各方面来看，向老师询问什么时候才会需要知道某个东西，这是正确的做法！）

在 2008 年的一场演讲中，富有影响力的教育家肯·罗宾逊（Ken Robinson）将教育体系比作工厂。我们按照出生年份成“批”地打造小孩，期盼着他们能发挥相同的作用。这在工厂作业支撑经济的时代还算有效，但我们的社会已然发生改变，还将持续飞速变化。

“人们想要知道：我们该如何教育孩子，好让他们立足于 21 世纪的经济体系中？”肯问道，“我们连下周的经济会呈现何种态势都不知道，又该如何做到这一点呢？问题就在于，现有教育体系的设计、构想与建立，所考量的是另一个时代。”

肯的回答是：学校需要培养的是发散思维，或者说，“对于同一个问题，能够给出多种可能的答案，以多种方式去解读”。换言之，我们需要解决问题的技巧。谁的头脑在技巧方面得到了最好的锻炼呢？答对了，是数学家。我们知道，要想应对即将到来的未知挑战，就得有解决问题的技巧。根据神经科学研究，我们还知道，数学家是在大脑中用于解决问题的区域应对挑战。

也就是说，读者朋友，你要是能从数学家那里得到启示，便会立于应对未来挑战的有利位置。无论背景如何，技能多少，你都可以通过学习数学家的思维方式，以及运用这些技巧，来锻炼自己的大脑。在这一部分中，你将学会：

1. 培养数学习惯；

2. 成为更好的模式识别者；

3. 运用概率与实验；

4. 用数学语言描述与表达；

5. 动手尝试；

6. 发明创造；

7. 可视化；

8. 提出猜想。

你可能会注意到，这些技巧基于我们之前讨论过的思维习惯和数学实践标准。这并非巧合。数学家与顶尖的数学教育工作者都知道，像数学家一样思考的前提条件是什么。

你会从每一章中了解到，数学家是如何运用各种技巧或思维习惯的；各章还会给出一些窍门与练习，帮助你像数学家一样思考。别担心，这不是数学课本，而是提供了锻炼大脑的方法，这样你就能以数学家的思维模式着手解决问题。

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《人人都用得上的数学：生活和工作中的数学思维》

作者：[美] 阿尔伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

译者：谈天星

文科生也能掌握的数学思维入门宝典！

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