Kaplan–Meier estimator 介绍

Kaplan–Meier estimator 介绍

本文主要便于自己理解推导，并不完善，参考如下资料：
https://en.jinzhao.wiki/wiki/Kaplan%E2%80%93Meier_estimator

总的公式如下：

下面对这个公式进行解读：

首先定义一下问题：

问题的定义还是很清楚的。需要注意的是这里的生存函数S(t)是大于t的概率，而t我们这里当作是离散的。
对这个问题怎么估计呢？最简单直接的方法如下：
首先介绍如下规律：

Proposition1 很容易理解。下面这句呢？就是对于给定的t，选出$c_k\ge t$的那些k，对于这个t，就有下面的概率的关系。怎么理解：真实值大于t，那么观测值肯定也会大于t，因此两者大于t的概率是相等的。下面是简单的估计方法：

怎么理解呢？就是构造了$X_k$这样一个0-1变量，然后这个变量服从伯努利分布，且$X_k=1$的概率就是关于真实变量的分布函数的取值：S(t-1)。那么根据观测亮，就可以估计出这个概率值了。
这个估计有如下几个问题：
受m(t)的影响比较大，导致对于有些t，估计的样本可能不足。而且这种估计忽略了在t之前就被截断的数据，这些数据对于估计S(t)还是有一定信息量的，而这种简单的估计直接忽略了这些信息量。那么如何用到这些信息量呢，这正是KM估计做的：

KM估计的思路如上，还是比较好理解的。注意风险函数的相关定义。
因此可以得到KM估计的求法：


进行适当的简化变形，就得到的文章开头的式子。

另一种推断方法：

生存函数和风险函数的关系是定义好的。然后风险函数可以根据极大似然估计得到，然后就可以得到生存函数的估计了。

上面只是估计了期望吧，方差怎么估计呢：