POJ 2229 Sumsets

Sumsets

题意概述：
    把一个数拆分成2的幂的和的形式，求一共有多少种拆分方法。
    比如7的拆分方式有如下六种：
    1) 1+1+1+1+1+1+1 
    2) 1+1+1+1+1+2 
    3) 1+1+1+2+2 
    4) 1+1+1+4 
    5) 1+2+2+2 
    6) 1+2+4 
解题思路：
    首先采取递推的思路来划分这个问题，因此我们要找出递推关系，不难想到，当一个数n是奇数的时候，我们如果要采用2的幂的和的形式来表示这个数，就必须有一项为1，因为2的幂次方的和只有加上1才能形成奇数，因此我们可以把这个1当做特殊元素来处理，去掉这个1以后，剩下的部分刚好对应n-1的所有的拆分方式，因此奇数项的递推关系就找到了。同样的道理，我们可以把偶数的所有拆分方式划分为两个部分，即拆分的项里有1和没有1这两种情况。对于有1的情况，肯定至少有两个1，这一点不难想到，然后把这两个1去掉以后就刚好对应了n-2的拆分方式。然后对于没有1的情况，这种情况下每一项肯定都是偶数，因此可以把每一项都除以2，也就是说此时对应了n/2的拆分方式。接下来就是依此写出递归函数：

int fun(int n){
    if(n==1)
        return 1;
    else if(n==2)
        return 2;
    else if(n%2==1)
        return f(n-1);
    else
        return f(n-2)+f(n/2);
}

但递归式并不能很好的帮我们解决这个问题，因为它包含了大量的重复计算的子问题，同时我们也注意到这个递推函数的特点，就是只会调用比它小的递归项，因此我们可以用动态规划来解决这一问题。先求出来小的问题，然后逐步向后，聚沙成塔，解决最终的问题。
题解代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int size = 1000000+10;
int dp[size];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    dp[1]=1;
    dp[2]=2;
    for(int i=3;i<=n;i++)
        if(i%2)
            dp[i]=dp[i-1];
        else
            dp[i]=(dp[i-2]+dp[i/2])%1000000000;
    cout<<dp[n]<<endl;
    return 0;
}