[莫队]HDU6333(2018多校练习赛第四场 Problem B)【Harvest of Apples】题解

最新推荐文章于 2020-12-01 15:59:31 发布

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#HDU #莫队 #组合数学

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莫队算法

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本文介绍了一种利用组合数学原理解决特定类型问题的方法。通过分析组合数的递推关系，实现了对f(n,m)的快速计算。采用莫队算法进行优化，使程序能够高效处理大量数据。

题目大意

求 $f(n,m)=\sum_{i=0}^{m}C_n^i$ ，多组数据。

解题分析

上莫队。

如果已经求出了 $f(n,m)$ ，那么如何求出 $f(n+1,m)$ 和 $f(n,m+1)$ 呢？

$f(n,m+1)=f(n,m)+C_{n}^{m+1}$

$f(n+1,m)=\sum_{i=0}^mC_{n+1}^i=\sum_{i=1}^m(C_n^i+C_n^{i-1})+1=f(n,m)+f(n,m-1)=2*f(n,m)-C_m^n$

所以可以 $O(1)$ 转移，这样就可以用莫队了。

示例程序

（题目传送门）

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int tt=1000000007,invt=(tt+1)>>1,maxn=100005;
int S,q,h[maxn],ans[maxn];
LL num,fac[maxn],inv[maxn];
struct data{
    int L,R,id;
    data (int L=0,int R=0,int id=0):L(L),R(R),id(id){}
    bool operator < (const data b)const{
        if (h[L]==h[b.L]) return R<b.R;
        return L<b.L;
    }
}a[100005];
inline void readi(int &x){
    x=0; char ch=getchar();
    while ('0'>ch||ch>'9') ch=getchar();
    while ('0'<=ch&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
LL ksm(LL x,int y){
    LL sum=1,w=x;
    for (;y;y>>=1,w=(w*w)%tt) if (y&1) sum=(sum*w)%tt;
    return sum%tt;
}
void blocker(int n){
    S=sqrt(n);
    for (int i=1;i<=n;i++) h[i]=(i-1)/S+1;
}
LL C(int n,int m){
    if (n==m) return 1;
    return (fac[n]*inv[m]%tt)*inv[n-m]%tt;
}
int main()
{
    freopen("apple.in","r",stdin);
    freopen("apple.out","w",stdout);
    readi(q); blocker(q);
    for (int i=1,x,y;i<=q;i++) {readi(x); readi(y); a[i]=data(y,x,i);}
    num=1; sort(a+1,a+q+1);
    fac[0]=1; for (int i=1;i<=1e5;i++) fac[i]=(fac[i-1]*i)%tt;
    for (int i=0;i<=1e5;i++) inv[i]=ksm(fac[i],tt-2);
    for (int i=1,L=0,R=0;i<=q;i++){
        while (R<a[i].R) num=((num<<1)-C(R++,L)+tt)%tt;
        while (R>a[i].R) num=(num+C(--R,L))%tt*invt%tt;
        while (L<a[i].L) num=(num+C(R,++L))%tt;
        while (L>a[i].L) num=(num-C(R,L--)+tt)%tt;
        ans[a[i].id]=num;
    }
    for (int i=1;i<=q;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}