2017-03-04 【NOI1999】生日蛋糕

Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1<=i<=M)层蛋糕是半径为Ri,高度为Hi的圆柱。当i时，要求Ri>Ri+1且Hi>Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。
令Q= Sπ
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。
（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

Input

有两行，第一行为N（N＜=10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M＜=20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S=0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

68

Hint

附：圆柱公式
体积V=πR^2H
侧面积A’=2πRH
底面积A=πR^2

Source

[NOI1999]
数学，搜索，剪枝

Solution

（这道题之前做过，所以再一次做起来比较快）用dfs来确定每一层蛋糕，dfs要记录当前蛋糕层数，半径，高，已有的外表面积，剩下的蛋糕体积，枚举下一层蛋糕的半径和高，然后用dfs确定合不合理（即处于这种状态时，最终得到的蛋糕外表面积可不可以用来更新ans）；dfs中有3个优秀的剪枝，十分有用：1：如果最小情况大与已有ans，则再深搜搜出的答案也不能更新ans，所以跳出；2：如果将剩下层数堆完所需要的最小体积大于还剩下的体积，那么蛋糕不够用，所以跳出；
3：如果将剩下层数堆完所需要的最大体积小于还剩下的体积，那么蛋糕用不完，所以跳出

Code

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,m,ans;
int mmin(int i)//找到堆完剩下层数的蛋糕所需蛋糕体积的最小值
{
  int sum=0;
  for (int k=1;k<=m-i;++k) sum+=k*k*k;
  return sum;
}
int mmax(int i,int r,int h)//找到堆完剩下层数的蛋糕所需蛋糕体积的最大值
{
  int sum=0;
  int k=r,p=h;
  for (int j=i+1;j<=m;++j,--k,--p) sum+=k*k*p;
  return sum;
}

inline void dfs(int i,int r,int h,int s,int v)//i 当前层数，r当前层的半径，h当前层的高，s已有的外表面面积，v剩下的体积
{
  if (i==m && v==0)//如果已经达到目标层数和总体积
    {
      ans=min(ans,s);//更新答案
      return;
    }
  if (s+2*v/r>ans) return;//如果最小情况大与已有ans，则再深搜搜出的答案也不能更新ans，所以跳出
  if (mmin(i)>v) return;//如果将剩下层数堆完所需要的最小体积大于还剩下的体积，那么蛋糕不够用，所以跳出
  if (mmax(i,r,h)<v) return;//如果将剩下层数堆完所需要的最大体积小于还剩下的体积，那么蛋糕用不完，所以跳出
  //上面三个if是十分重要的三个剪枝，比较巧妙
  for (int R=r-1;R>=1;R--)//枚举下一层蛋糕的半径
    for (int H=h-1;H>=1;H--)//枚举下一层蛋糕的高
      dfs(i+1,R,H,s+2*R*H,v-R*R*H);//深搜下一层
}

int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  ans=2147483647;
  for (int r=m;r<=(int)sqrt(n);++r)//枚举半径r
    for (int h=n/(r*r);h>=m;--h)//枚举高度h
      dfs(1,r,h,r*r+2*r*h,n-r*r*h);//1->层数，r->当前层的半径，h->当前层的高，
  if (ans==2147483647) printf("0"); else printf("%d",ans);
  return 0;
}

嗯，体现了剪枝的厉害的生日蛋糕