被截短的随机分布与原分布的关系

最新推荐文章于 2025-02-10 21:15:20 发布

trium_KW

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分类专栏：算法文章标签：概率论

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文章讨论了当随机分布的定义域被限制在一个子集E内时，截取后随机变量的分布如何变化。尽管形状保持不变，但概率密度函数会增高。通过对截取后概率密度函数f_U(x)的分析，揭示了其与原分布f_X(x)的关系。

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已知随机分布的概率密度函数为 $f_X(x)$ ，定义域为 $D$ 。现将其定义域截取为 $E$ ，其中 $E \subseteq D$ ，即不断按照该分布取随机变量直到变量值落在 $E$ 中。截取后的随机变量的分布的概率密度函数与 $f_X(x)$ 是什么关系呢？

要回答这个问题，首先设截取后的概率密度函数为 $f_U(x)$ ，设 $a=\min{E}$ （如果 $E$ 无下界，令 $a$ 表示 $-\infty$ ）。 $\forall x \in E$ ：

\int x a f U (t) d t \int x a f U (t) d t \int x a f U (t) d t d d x \int x a f U (t) d t f U (x) = \int x a f X (t) d t + (1 - \int E f X (t) d t) \int x a f X (t) d t + \dots = \sum n = 1 \infty (1 - \int E f X (t) d t) n \int x a f X (t) d t = (\int E f X (t) d t) - 1 \int x a f X (t) d t = (\int E f X (t) d t) - 1 d d x \int x a f X (t) d t = (\int E f X (t) d t) - 1 f X (x)

$\begin{aligned} \int_a^x{f_U(t)dt} &= \int_a^x{f_X(t)dt} + \left(1 - \int_E{f_X(t)dt}\right)\int_a^x{f_X(t)dt} + \cdots\\ \int_a^x{f_U(t)dt} &= \sum_{n=1}^\infty{\left(1-\int_E{f_X(t)dt}\right)}^n \int_a^x{f_X(t)dt}\\ \int_a^x{f_U(t)dt} &= \left(\int_E{f_X(t)dt}\right)^{-1} \int_a^x{f_X(t)dt}\\ {d \over dx}\int_a^x{f_U(t)dt} &= \left(\int_E{f_X(t)dt}\right)^{-1} {d \over dx}\int_a^x{f_X(t)dt}\\ f_U(x) &= \left(\int_E{f_X(t)dt}\right)^{-1} f_X(x) \end{aligned}$

所以随机分布在形状上不会有什么改变，但会变高。