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机敏问答[概率][1] #20210618期望：例题答案方差答案相关性、几何意义答案最优预测答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）期望：例题Polya坛子：初始bbb黑rrr红，每次摸到球之后加入ccc个同色球，定义随机变量YnY_nYn​表示第nnn轮后黑球占比，证明EYnEY_nEYn​和nnn无关。为什么要考虑条件期望？如果每次摸到黑球之后只以ppp概率加黑球，否

机敏问答[概率][0] #20210617期望、尾分布与阿贝尔变换答案随机变量函数的期望答案条件期望答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）期望、尾分布与阿贝尔变换XXX期望有界则∣X∣|X|∣X∣期望（）。记号EX=+∞EX=+\inftyEX=+∞意思是（）。解释”数字特征”中“特征”的含义。说期望是“分布的数字特征”，相比认为它是“随机变量的数字特征”思想上有何不同

机敏问答[复变][2] #20210616柯西定理答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）柯西定理根据路径积分定义，路径积分结果的实部和虚部分别是什么向量场的第二型曲线积分？对于z′(t)=x′(t)+iy′(t)z'(t)=x'(t)+iy'(t)z′(t)=x′(t)+iy′(t)，用对参数ttt在区间上的定积分表示∫γf(z)dz\int_\gamma f(z)dz

机敏问答[复变][1] #20210615幂级数答案多值函数与反函数答案分式线性变换答案开映射定理答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）幂级数下列哪些事物对于实数情况和复数情况有本质区别？简要阐述。a. 一致收敛的柯西准则 b. eze^zez的收敛域 c. Abel定理（一点收敛推出内部的闭球上一致收敛）和收敛半径的定义 d. 幂级数∑anzn\sum a_nz^n∑

机敏问答[复变][0] #20210612复数域：基础知识答案复平面的拓扑答案复函数答案扩充复平面答案解析函数答案导数的几何意义答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）复数域：基础知识对于a=reiθa=re^{i\theta}a=reiθ求ArgaArg aArga并求解zn=az^n=azn=a证明共轭运算保持四则运算。对于z=x+iyz=x+iyz=x+iy直接写出

不定期备考小tips[常微][2] #20210528保守系统（续）单摆画相图的典型示例周期大小圆柱上的相图带阻尼的情况考察保守性的例题进一步理解李雅普诺夫函数可逆系统例：随手例题例：力场可逆与保守本专栏主要作个人笔记，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）保守系统（续）单摆画相图的典型示例d2dt2θ=−glsinθ\frac{d^2}{dt^2} \theta = -\frac gl sin\t

不定期备考小tips[数模][0] #20210529边值问题S-L微分方程中两种内积的理解一种内积：(u,v)=∫uvdx(u,v)=\int uvdx(u,v)=∫uvdx另一种内积：(u,v)1=∫uσvdx(u,v)_1 = \int u\sigma vdx(u,v)1​=∫uσvdxF.A.线性方程组S-L微分方程无量纲化换元的一般表示如何选择特征物理量奇异极限渐近展开主项平衡原理中“同阶”的理解本专栏主要作个人笔记，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试

不定期数学备考小tips[0] #20210524常微（Strogatz书）一些描述稳定性的词汇退化结点(degenerate node)线性近似换极坐标常见套路关于对称性的若干思考本专栏主要作个人笔记，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）常微（Strogatz书）参考书籍：一些描述稳定性的词汇假设x⃗0=0⃗\vec x_0 = \vec 0x0​=0是待考察的点。吸引的(attracti

不定期备考小tips[常微][3] #20210602一些补充说明对中心作高阶扰动中心、焦点和中心焦点本专栏主要作个人笔记，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）一些补充说明对中心作高阶扰动线性近似后的中心在近似前的所有可能情况是能被完全分类的。若不存在螺旋线，可以说明线性近似前是中心。中心、焦点和中心焦点在中文文献中，前述螺旋（spiral）也称为焦点。中心焦点则指在平衡点外围有一系列闭轨缩小趋

不定期备考小tips[常微][0] #20210524常微（Strogatz书）一些描述稳定性的词汇退化结点(degenerate node)线性近似换极坐标常见套路关于对称性的若干思考本专栏主要作个人笔记，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）常微（Strogatz书）参考书籍：一些描述稳定性的词汇假设x⃗0=0⃗\vec x_0 = \vec 0x0​=0是待考察的点。吸引的(attrac

不定期数学备考小tips[1] #20210525常微（Strogatz书）Dipole fixed point本专栏主要作个人笔记，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）常微（Strogatz书）参考书籍：Dipole fixed pointDipole平衡点，x˙=2xy,y˙=y2−x2\dot x=2xy, \dot y = y^2-x^2x˙=2xy,y˙​=y2−x2，平衡点(0,0)

机敏问答[博弈][1] #20210628多重均衡问题答案（仅供参考）威胁与承诺答案（仅供参考）本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）多重均衡问题交通、约会、资源争夺博弈都有多个纳什均衡，它们有什么差别？用”聚点均衡“分析分蛋糕博弈。廉价交谈（不会撒谎，成本低）对协调还是合作问题比较有效？除了成本高，还有什么可能会影响用沟通（廉价交谈）达成帕累托最优？（提示：均值-方差理

机敏问答[概率][2] #20210619母函数答案特征函数答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）母函数XXX取非负整数，下同。可以把母函数表示成用（）为系数的（）级数，说明收敛半径。用定义求出G(p),P(λ)G(p),P(\lambda)G(p),P(λ)的母函数，验证母函数在s=1s=1s=1处总是取（）。把母函数表示成期望的形式。为什么说母函数是分布的特征？一

机敏问答[概率][4] #20210619多元正态分布答案退化的正态分布答案条件分布答案多元正态分布练习答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）多元正态分布多元正态分布表达式中2π2\pi2π的次数是多少？Σ\SigmaΣ在哪里开方在哪里没开方？Σ\SigmaΣ和一元的σ\sigmaσ有什么关系？X⃗∼(μ⃗,Σ)\vec X\sim(\vec \mu,\Sigma)X∼

机敏问答[博弈][5] #20210629演化博弈答案（仅供参考）法律与社会规范答案（仅供参考）本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）演化博弈解释演化博弈论中放弃了完全理性假设。说出静态演化稳定战略和动态演化稳定战略的异同。为什么说演化稳定战略一定是纳什均衡，但反过来不对？演化稳定均衡一定帕累托最优吗？解释生物进化和社会演化中“选择性”“适应性”“传递方式”三方面的不同

机敏问答[博弈][2] #20210629讨价还价答案（仅供参考）重复博弈答案（仅供参考）本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）讨价还价讨价还价一定是零和博弈（收益之和为0，一方得到的就是另一方失去的）吗？威胁点（谈判砝码）太小是什么意思？现实中两个人所获利益的关系为什么未必是线性函数关系？最大化两人的社会福利函数(x−a)h(y−b)k(x-a)^h(y-b)^k(x

机敏问答[复变][4] #20210627平方可积解析函数答案Schwarz引理和双曲几何答案非负调和函数答案洛朗展开答案孤立奇点答案亚纯函数答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）平方可积解析函数复值平方可积函数和实值对以下哪些事物有本质区别？a. （有界区域上）平方可积则可积。 b. 平方可积函数构成线性空间 c. 对称性、线性性、正定性 d. 内积和柯西不等式 e.

机敏问答[常微][5] #20210622常系数齐次线性微分方程组答案高阶线性微分方程式答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）常系数齐次线性微分方程组定义矩阵的模是所有元素绝对值和。以下哪些事物相比实数有本质区别？a. 模有正定性 b. 模保持（正）数乘（”齐次性“） c. 三角不等式 d. 乘积的模和正整数次幂的模若两矩阵满足（），则和的e指数等于（）。因此eAe^

机敏问答[博弈][3] #20210629不完全信息与声誉答案（仅供参考）逆向选择答案（仅供参考）信号传递答案（仅供参考）本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）不完全信息与声誉连锁店悖论是说连锁店按照（）法计算应该选择对进入者采取（），但实际上（）。多重均衡中存在帕累托优劣，为什么导致惩罚不再可信？如果A具有完全信息（知道B一定理性），B不具有，那么谁有积极性建立声誉？

机敏问答[复变][3] #20210626连续性方法答案值域的考察答案平均值原理答案确定所有可能函数答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）连续性方法fff在有界区域Ω\OmegaΩ闭包连续，区域上可导，f(∂Ω)f(\partial \Omega)f(∂Ω)包含于单位圆盘边界。首先根据（）原理可以直接说明f(Ω)f(\Omega)f(Ω)中任意一点模长不超过1. 现在我们

机敏问答[复变][5] #20210629Cousin问题答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）Cousin问题区域上的所有极点和极点处主部能在什么意义上决定亚纯函数？反过来，针对确定的一列可数个极点和相应主部，能否构造相应亚纯函数？对于有限个情况，可以直接加。对于可数个情况，为什么极点孤立？极点在Cˉ\bar \mathbb CCˉ上不孤立和以前的东西矛盾吗？为了克

机敏问答[概率][6] #20210620依分布收敛答案特征函数法证明依分布收敛答案中心极限定理的应用答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）依分布收敛依分布收敛是（）（条件）点处函数值收敛，它除了可以考察随机变量，还可以考察（）（研究对象）（即依分布收敛的随机变量之间的概率空间甚至不一定相同）。为什么分布函数间断点可数？证明FX(x)−FY(x)F_X(x)-F_Y(x

机敏问答[概率][5] #20210619Bernoulli试验场合极限定理答案依概率收敛和WLLN答案几乎必然收敛答案几乎必然收敛与其它收敛答案SLLN答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）Bernoulli试验场合极限定理对于Bernoulli实验，什么是标准化后的（和）Sn∗S_n^*Sn∗​？Bernoulli大数律：用（）不等式估计P(∣Sn−npn∣≥ϵ)≤

机敏问答[博弈][4] #20210629机制设计答案（仅供参考）道德风险答案（仅供参考）本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）机制设计现实中直接显示机制和间接显示机制哪个更常见？显示原理是什么？机制设计的典型博弈树中，根节点的子节点是什么意思？风险溢价越高，则保费如何？对于发生事故可能性10%，保费2000元，保额20000元，解释“每万元风险溢价0.07万元”的含义。

机敏问答[概率][3] #20210619多元特征函数答案数字特征练习答案母函数、特征函数练习答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）多元特征函数一元特征函数的txtxtx对应多元特征函数的什么？由此a⃗TX⃗\vec a^T\vec XaTX的特征函数怎么求？将一元特征函数的上界1、“共轭”、一致连续、线性变换、矩、独立与乘积等相应结论推广到多元。边缘分布的特征函数怎

机敏问答[博弈][0] #20210628协调与合作答案（仅供参考）个体理性行为答案（仅供参考）囚徒困境与纳什均衡答案（仅供参考）本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）协调与合作叙述等边际原理。纯粹的协调问题的发生对应人类的无知还是无耻？沟通和规则的用处是使什么一致？一致时一定能避免协调失灵吗？说出集体理性的可能的标准。囚徒困境是集体理性和什么冲突？用物质激励合作对第

机敏问答[常微][4] #20210622多维系统答案连续依赖性答案多维线性微分方程组答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）多维系统四个角上四只乌龟分别盯紧”下一只“，以匀速运动：直觉上是（）螺线，为了说明解存在唯一（从而对称），我们可以考虑（）维复数值系统或者（）维实数值系统，再考察存在唯一性。三维空间中，物体加速度始终和速度、位矢同平面（线性相关），则物体是否在同一

机敏问答[常微][3] #20210619存在唯一性定理答案分岔答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）存在唯一性定理开放性问题：对于没有解析解的微分方程，我们有什么考察角度？答案解的结构（线性空间？流形？），数值解，存在唯一性，几何直观。分岔含参数微分方程的参数变化时解结构会改变。如果有多个参数，那么参数和解结构的关系图从原理上类似于（）（说出一种大学物理

机敏问答[常微][2] #20210612一阶线性ODE本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）一阶线性ODE齐次情况的解如果有一点等于0，则为什么恒等于0？（提示：可以用皮卡定理）由0.为什么推出...

机敏问答[常微][1] #20210611解的含义、通解答案线素场答案恰当方程和分离变量法答案一阶线性ODE基础答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）解的含义、通解针对y=ϕ(x,C1,C2)=C1cosx+C2sinxy=\phi(x,C_1,C_2)=C_1 cosx+C_2 sinxy=ϕ(x,C1​,C2​)=C1​cosx+C2​sinx，计算雅可比行列式D[ϕ

机敏问答[常微][0] #20210611简单的画图答案分离变量法：严谨性与合理性答案本专栏主要作个人复习自测，有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。万一考试考到了，或者对你的学习有较大帮助，一键三连不过分吧（斜眼笑）简单的画图对于系统p′=α(p−p0),α<0p'=\alpha(p-p_0),\alpha<0p′=α(p−p0​),α<0，画出其导函数图像，并借此在同一张图上画出一维相图（即：在实轴上画箭头）。上图中横轴表示什么？纵轴表示什么？

常微分方程机敏问答专栏简介与声明《常微分方程》课程专栏使用方法专栏简介与声明《常微分方程》课程本专栏是北京大学数学科学学院《常微分方程》（马翔老师班）个人复习自测系列。马翔老师作为一位几何学家，在教授常微分方程时较为关注几何直观和定性理论，和一般的《常微分方程》课程有所区别。所以本专栏可能不一定适用于一般的《常微分方程》课程复习。本课程教材：常微分方程教程 第二版——丁同仁 李承治Nonlinear Dynamics and Chaos——With Applications To Phy