【分治】最大子数组问题

学习目标

分治

• 分：将大问题分成小问题
• 治：通过递归的办法解决一系列小问题
• 归：最后再将小问题合起来

学习递归式的求解办法

• 代入法
• 递归树法
• 主方法
• 证明主定理

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最大子数组问题

• 输入：数组A[1…n]

• 输出：(i,j,s)使得A[i…j]为最大数组，且和为s

  分：取数组中点mid，最大子数组要么完全位于左侧或者右侧，要么跨越中点

  治：完全位于一侧可递归解决，需要2T（n/2）;跨越中点则从中点向两侧扩张遍历解决，需要O(n)

  合:三种情况取和最大的即可，需O(1)

  代价T(n) = 2T(n/2)+O(n)=nlogn

例题

给定一个整数数组nums,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素)，返回其最大和

示例：

输入:[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出:6
解释:连续子数组[4,-1,2,1]的和最大，为6

#define	MAX(a,b,c) ((a)>(b)>(c)?(b):(c))?(a):((b))>(c)?(b):(c)))
int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {
	int i = 0;
	int	iTmp = 0;
	int Max_L = 0;
	int Max_L = 0;
	int Max_R = 0;
	int Max_R = 0;
	int Max_l = 0 ;
	int Max_m = 0;
	if ((numsSize == 0) || (numsSize == 1)) {
		return nums[0];
	}
	else{
		Max_L = maxSubArray(&nums[0], (numsSize - 1) / 2);
		Max_R = maxSubArray(&nums[(numsSize + 1)/2] , numsSize / 2);
	}
	iTmp = 0;
	Max_l = nums[(numsSize - 1) / 2];//前半段右边界
	for (i = (numsSize - 1) / 2; i >= 0; i--) {
		iTmp += nums[i];
		if (iTmp > Max_l) {
			Max_l = iTmp; //Max_l为左侧部分最大和
		}
	}
	/*
	* 处理中间部分
	*/
	iTmp = Max_l;
	Max_m = Max_l;
	for (i = (numsSize + 1) / 2; i < numsSize; i++) {
		iTmp += nums[i];
		if (iTmp > Max_m)
		{
			Max_m = iTmp;
		}
		return MAX(Max_L, Max_R, Max_m);
	}
	
}