12、协方差分析（ANCOVA）全面解析

协方差分析（ANCOVA）全面解析

在生活中，我们常常会遇到需要比较多个均值的情况，但同时又会受到其他因素的干扰。比如，我们想比较不同治疗方法对某种疾病的疗效，然而患者的年龄、病情初始严重程度等因素可能会影响最终的结果。这时，协方差分析（ANCOVA）就派上用场了。它可以在考虑这些干扰因素（协变量）的情况下，更准确地比较多个均值。

1. 协方差分析的基本概念

协方差分析是对基本方差分析（ANOVA）的扩展。在之前的方差分析中，我们通过虚拟变量来编码组内成员关系，用多元回归方程来描述。而协方差分析则在此基础上，引入了一个或多个连续变量（协变量）来预测结果变量（因变量）。这些协变量虽然不是主要的实验操作变量，但会对因变量产生影响。

以研究伟哥对性欲的影响为例，除了伟哥本身，参与者性伴侣的性欲、服用的药物（如抗抑郁药或避孕药）以及疲劳程度等因素都可能影响性欲。如果我们测量这些协变量，并将其纳入回归模型，就可以控制它们对因变量的影响。

协方差分析有两个主要用途：
- 减少组内误差方差 ：通过让协变量解释部分“未解释”的方差（SSR），从而减少误差方差，使我们能更准确地评估自变量的效应（SSM）。
- 消除混淆因素 ：在任何实验中，可能存在未测量的变量会混淆结果。如果已知某些变量会影响测量的因变量，协方差分析可以通过将这些变量作为协变量纳入分析，消除它们的偏差。

2. 协方差分析的假设和问题

协方差分析与方差分析有相同的假设，但还有两个重要的额外考虑因素：
- 协变量与处理效应的独立性