13、模型预测控制（MPC）及其约束设计详解

模型预测控制（MPC）及其约束设计详解

1. 模型预测控制基础

模型预测控制（MPC）旨在寻找输入 $\Delta u(k)$，以最小化目标函数 $V(k)$。目标函数 $V(k)$ 的表达式为：
$V(k) = \sum_{i=H_w}^{H_p} |\hat{z}(k + i|k) - r(k + i|k)|^2_{Q(i)} + \sum_{i=0}^{H_u - 1} |\Delta\hat{u}(k + i|k)|^2_{R(i)}$
其中，$\hat{z}(k + i)$ 是我们希望控制的输出预测值。MPC 的主要特点是在有限时间内找到最优控制输入变化的时间序列数据 $\Delta\mathcal{U}(k) = [\Delta\hat{u}(k|k), \ldots, \Delta\hat{u}(k + H_u - 1|k)]^T$，并且 $\Delta u(k)$ 会重复使用序列中的第一个值作为控制输入。

1.1 状态方程与预测值

状态方程可以表示为以下形式：
$\hat{x}(k + 1|k) = A_d\hat{x}(k) + B_d\hat{u}(k|k)$
$\hat{x}(k + 2|k) = A_d\hat{x}(k + 1|k) + B_d\hat{u}(k + 1|k) = A_d^2\hat{x}(k) + A_dB_d\hat{u}(k|k) + B_d\hat{u}(k + 1|k)$
$\vdots$
$\hat{x}(k + H_p|k) = A_d^{H_p} \hat{x}(k) + A_d^{H_p - 1}B_d\hat{u}(k|k) + A_d^{H_p - 2}