69、扩展式博弈：概念、均衡与求解方法

扩展式博弈：概念、均衡与求解方法

1. 引言

在博弈论中，许多实际情况涉及玩家的顺序行动，如棋类游戏、谈判协议和公开喊价拍卖等。传统的博弈模型难以捕捉这种顺序性，因此需要引入扩展式博弈的概念来分析此类情况。

2. 扩展式博弈的基本概念

2.1 扩展式博弈的定义

扩展式博弈通常用有根树来表示，根节点表示游戏开始，叶子节点表示游戏结束。树的内部节点代表游戏的状态，在每个状态下，要么玩家需要做出决策，要么有随机事件决定下一个状态。

一个扩展式博弈可以用元组 (G = \langle N, T, (u_i)_{i \in N} \rangle) 来定义，其中：
- (N = {1, \ldots, n}) 是参与者集合；
- (T = (V, E)) 是有根树，节点集合 (V) 被划分为不相交的集合 (V = V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_n \cup V_c \cup V_L)。(V_i) 表示参与者 (i) 决策的节点集合，(V_c) 表示随机事件节点集合，(V_L) 表示叶子节点集合。对于 (V_c) 中的每个节点 (v)，还给出了离开该节点的边的概率分布；
- 对于每个 (i \in N)，(u_i : V_L \to \mathbb{R}) 是一个支付函数，将树的每个叶子节点映射到一个实数值。

2.2 历史和终端历史

历史是从游戏开始的有效行动序列，即从根节点到树中某个节点的路径。空集 (\varnothing) 也被视为有效历史。终端历史是结束于叶子节点的历史，它描述了游戏的一种可能玩法。在树中，从根节点到叶子节点有唯一路