28、拍卖机制设计：原理、类型与挑战

拍卖机制设计：原理、类型与挑战

1. 第二高估值期望的计算

在拍卖场景中，当确定投标人 i 具有最高估值时，需要找到第二高估值的期望值表达式。对于从均匀分布中抽取的 n 个独立同分布样本，第 k 阶统计量的公式为：对于从 [0, vmax] 中抽取的样本，第 k 阶统计量是 $\frac{n + 1 - k}{n + 1} v_{max}$。

若投标人 i 的估值 $v_i$ 最高，那么其余 $n - 1$ 个估值是从 [0, $v_i$] 的均匀分布中抽取的。所以，第二高估值的期望值就是从 [0, $v_i$] 中抽取 $n - 1$ 个样本的第一阶统计量。代入公式可得：$\frac{(n - 1) + 1 - 1}{(n - 1) + 1} v_i = \frac{n - 1}{n} v_i$。这不仅证实了某个定理中的均衡策略，还让我们推测在非均匀估值分布下，第一价格拍卖的均衡策略可能是每个投标人根据自身估值最高的假设，对第二高估值进行期望投标。

同时，对于收益等价定理需要注意，它是一个“如果……那么……”的陈述，而非“当且仅当”。也就是说，满足定理条件的所有拍卖必定产生相同的期望收益，但产生该期望收益的所有策略并不一定构成均衡。因此，在使用收益等价定理确定一个认为是均衡的策略组合后，还需证明该策略组合确实是均衡。通常的做法是假设除一个代理人外，其他代理人都按照均衡策略行动，然后证明该均衡策略是剩余代理人的最优响应。

2. 位置拍卖

搜索引擎通过所谓的位置拍卖出售广告，每年能赚取数十亿美元。在这种拍卖中，多个不同的商品（特定关键词的“广告位”，通常位于搜索结果页面右侧的列表）同时出售给感兴趣的广告商。广告位越靠近页面顶部越有价值，因