50、优化理论：从约束问题到动态优化的全面解析

优化理论：从约束问题到动态优化的全面解析

1. 非凸问题的处理

对于非凸问题，对偶问题的解与原问题的解并不重合。为了解决这类问题，通常会在拉格朗日函数中添加一个惩罚项，得到增广拉格朗日函数：
[L’(x, \lambda_g, \lambda_h) = L(x, \lambda_g, \lambda_h) + \lambda p(x, t)]
其中(\lambda > 0)，(L(x, \lambda_g, \lambda_h))的定义如特定方程所示，惩罚项(p(x, t))在(\lambda_m(t) = 1)且(\alpha = 2)时按相关方程定义。

2. 约束优化的基准问题

这里列出了一些约束优化的基准问题，用于评估约束优化算法：
| 问题编号 | 目标函数 | 约束条件 | 最优解 | 最优值 |
| — | — | — | — | — |
| 1 | (f(x) = 100(x_2 - x_1^2)^2 + (1 - x_1)^2) | (x_1 + x_2^2 \geq 0)，(x_1^2 + x_2 \geq 0)，(x_1 \in [-0.5, 0.5])，(x_2 \leq 1.0) | ((0.5, 0.25)) | (0.25) |
| 2 | (f(x) = (x_1 - 2)^2 - (x_2 - 1)^2) | (-x_1^2 + x_2 \geq 0)，(x_1 + x_2 \leq 2) | ((1, 1)) | (1) |
| 3 | (f(x) = 5x_1 + 5x_2 + 5x_3 + 5x_4 - 5\sum_{j=1}^{4}x_j^2 - \sum_{j