47、图灵 - 丘奇论题与不可判定性探索

图灵 - 丘奇论题与不可判定性探索

1. 可计算性边界与算法定义

在计算机科学的探索中，我们一直思考着什么是可计算的，什么是不可计算的。在这个过程里，我们研究了多种计算模型，它们能够对语言进行判定、半判定或者生成，同时也了解到图灵机具备计算函数的能力。而且，强化图灵机的尝试都失败了，这似乎表明我们已经触及到了可计算性的极限，即任何可计算的问题都可以由图灵机来解决。

曾经，我们提出过计算机科学中最基础的问题之一：什么是算法？那时我们或许难以回答，但如今，我们对可计算性的探索让我们有能力解答这个问题。算法其实就是图灵机，但需要更明确的是，并非所有图灵机都能被视作算法。只有那些能够判定语言或者计算函数，并且在所有输入下都会停机的图灵机才是算法。而那些可能不停机的图灵机则不能算作算法，就好比一个陷入无限递归或无限循环的程序，它并不是算法的实现。

这种在所有输入下都会停机的图灵机，就是算法的形式化定义，这一原则被称为图灵 - 丘奇论题。之所以称之为论题，是因为它无法被正式证明，它并非一个数学陈述，只是断言了停机图灵机这一数学对象与我们对算法的直观概念是等同的。理论上，这个论题有可能被证明是错误的，这需要有人提出一种计算模型，能够完成图灵机无法完成的计算，但大多数计算机科学家和数学家认为这种情况极不可能发生。

2. 不可判定问题的存在

拥有算法的形式化定义固然令人兴奋，但我们关注这一里程碑还有另一个重要原因，那就是它为证明存在无解的计算问题打开了大门。这类无解的问题被称为不可判定或不可解问题，其实我们可能早已预料到这类问题的存在。例如，由于有限语言表示的数量是可数的，而需要表示的语言数量是不可数的，所以并非每个语言都存在有限表示，也就是说，为每个语