42、图灵机计算与扩展

图灵机计算与扩展

1. 图灵机复制函数 COPY

1.1 复制函数定义

复制函数 copy(w) 的功能是输入一个单词 ( w \in \Sigma^ )，返回由空格分隔的两个 ( w ) 的副本，即 ( copy(w) = w \text{ BLANK } w )。为了设计实现该功能的图灵机，需要明确其前置条件和后置条件：
- 前置条件 ：磁带状态为 ( (LM \text{ BLANK } w \text{ BLANK }) )，磁头位于 ( w ) 后的空格上。
- 后置条件 *：磁带状态变为 ( (LM \text{ BLANK } w \text{ BLANK } w \text{ BLANK }) )，磁头位于第二个 ( w ) 后的空格上。

1.2 设计思路

假设 ( w ) 由 ( n ) 个符号组成，即 ( w = a_0 \cdots a_{n - 1} )（( n \geq 0 )）。若 ( n = 0 )，则 ( w ) 为空单词（即一个空格）。设计目标是从 ( a_0 ) 开始，将每个 ( a_i ) 复制到右侧第二个空格处，空格用于分隔两个 ( w ) 的副本。具体步骤如下：
1. 图灵机先向左移动到第一个空格，再向右移动。此时，它可能读取到下一个待复制的元素或 ( w ) 后的空格。
2. 根据读取的元素进行分支：
- 若读取到空格 ：表示磁带已包含由空格分隔的两个 ( w ) 的副本。此时，将磁头向右移动到第一个空格，再向左移动。接着，进行第二次分