39、图灵机：原理、操作与组合

图灵机：原理、操作与组合

1. 图灵机基础与语言判定

图灵机在计算机科学中扮演着重要角色，它不仅能判定语言，还能执行各种计算和操作。

在语言判定方面，有两个关键引理用于证明 $L = L(M)$：
- 引理 5 ：$w \in L \Leftrightarrow w \in L(M)$。
- 证明（$\Rightarrow$） ：假设 $w \in L$，即 $w = a^n b^n c^n$。由于状态不变式始终成立，存在一种计算方式，使图灵机 $M$ 反复将匹配的 $a$、$b$、$c$ 转换为 $x$，最终以输入字仅含 3 的倍数个 $x$ 结束于接受状态 $Y$，所以 $w \in L(M)$。
- 证明（$\Leftarrow$） ：假设 $w \in L(M)$，意味着 $M$ 以唯一的接受状态 $Y$ 停机，且输入字仅含 3 的倍数个 $x$。鉴于状态不变式始终成立，$M$ 到达 $Y$ 的唯一方式是原输入为 $a^n b^n c^n$，并将相同数量的 $a$、$b$、$c$ 替换为 $x$，因此 $w \in L$。
- 引理 6 ：$w \notin L \Leftrightarrow w \notin L(M)$。
- 证明（$\Rightarrow$） ：假设 $w \notin L$，即 $w \neq a^n b^n c^n$。由于状态不变式始终成立，$M$ 无法在 $Y$ 状态停机，所以 $w \notin L(M)$。
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