27、下推自动机（PDA）与上下文无关文法（CFG）的等价性探究

下推自动机（PDA）与上下文无关文法（CFG）的等价性探究

1. 从CFG构建PDA

1.1 设计思路

我们的目标是构建一个下推自动机（PDA） $P = (make - ndpda\ K\ \Sigma\ S\ F\ \Delta)$，使得 $L(P) = L(G)$。PDA需要从左到右读取输入，这意味着对于 $L(G)$ 中的字符串 $w$，PDA可以模拟 $w$ 的最左推导。

具体操作如下：
- 初始时，PDA将文法 $G$ 的起始符号 $S_G$ 压入栈中。
- 对于每个上下文无关文法（CFG）规则 $A \to x$，PDA将栈顶的 $A$ 弹出，并将 $x$ 压入栈。
- 对于每个输入符号 $a \in \Sigma_G$，PDA从输入带上读取 $a$，并将栈顶的 $a$ 弹出。

基于此设计思路，PDA只需要两个状态：起始状态 $S$ 和最终状态 $Q$。PDA的构造形式为：$(make - ndpda\ ‘(S\ Q)\ \Sigma_G\ V_G \cup \Sigma_G\ ‘S\ ‘(Q)\ \Delta)$。

$\Delta$ 中有三种类型的规则：
1. $((S\ EMP\ (list\ S_G))\ (Q\ EMP))$：通过将 $S_G$ 压入栈并转移到状态 $Q$ 来启动最左推导模拟。
2. $((Q\ EMP\ (list\ ‘A))\ (Q\ (symbol - > fsmlos\ x)))$，对于 $(A \to x) \in R_G$：弹出栈顶的非终结符 $A$，并将文法规则的右部转换为有效的有限状态机（FSM）符号列表后压入栈。
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