22、非正则语言的探索与证明

非正则语言的探索与证明

在计算机科学的形式语言与自动机理论中，正则语言是一类重要的语言。我们有多种方法来判定一个语言是否为正则语言，例如可以为其创建正则表达式、确定有限自动机（DFA）、非确定有限自动机（NDFA）或正则文法（RG）。然而，并非所有语言都是正则语言，这一观点的根源在于内存的有限性。

1. 有限内存与非正则语言的初步探讨

有限状态机的内存量受状态数量的限制，这使得它在处理某些语言时存在困难。例如，考虑语言 ( L = {a^n b^n | n \geq 0} )，表面上看，这是一个简单的语言，每个单词由 ( n ) 个 ( a ) 后跟 ( n ) 个 ( b ) 组成。

如果 ( n ) 小于等于 3，实现一个 NDFA 来判定该语言相对简单。下面是判定 ( L’ = {a^n b^n | n \leq 3} ) 的 NDFA 的状态转移图：

.
A
B
C
D
S
E
F
a
a
b
b
b
a
e
e
e

该机器可以读取 0、1、2 或 3 个 ( a )，然后读取相同数量的 ( b )。

但对于 ( L )，由于 ( n ) 可以是任意大小的自然数，有限状态机难以读取 ( n ) 个 ( a ) 后再读取 ( n ) 个 ( b )。有人可能会尝试实现一个有限状态机，通过循环读取 ( n ) 个 ( a ) 再读取 ( n ) 个 ( b )，如下所示：

.
S
a
b
F
e

定义这个机器