17、有限状态机与正则表达式的闭包性质及等价性

有限状态机与正则表达式的闭包性质及等价性

1. 补集运算

补集运算是针对有限状态自动机（DFA）的一种操作。对于一个 DFA (M)，其语言 (L(M)) 的补集 (\overline{L(M)}) 定义为：
(\overline{L(M)} = {w | w \notin L(M)})
也就是说，(\overline{L(M)}) 包含了所有不在 (L(M)) 中的字符串。

要构造一个能识别 (\overline{L(M)}) 的自动机，该自动机需要在 (M) 拒绝时接受，在 (M) 接受时拒绝。由于 (M) 是 DFA，我们可以通过反转 (M) 的状态角色来实现。具体而言，(M) 的终态在构造的自动机中不再是终态，而 (M) 中的其他状态则成为终态。

以下是补集构造器的实现代码：

;; dfa →dfa
;; Purpose: Construct a dfa for the complement of given dfa’s language
(define (complement-fsa M)
  (let* [(new-finals (filter (λ (s) (not (member s (sm-finals M))))
                            (sm-states M)))]
    (make-dfa (sm-states M)
              (sm-sigma M)
              (sm-start M)
              new-finals
              (sm-rules