11、确定性有限状态机的设计与证明

确定性有限状态机的设计与证明

1. 证明语言等价性

在确定性有限状态机的研究中，证明一个状态机所识别的语言与目标语言相等是一个重要的问题。以 NO - ABAA 状态机为例，要证明 $L(NO - ABAA) = L$，可以将证明分为两个引理：
1. $w \in L \Leftrightarrow w \in L(M)$
2. $w \notin L \Leftrightarrow w \notin L(M)$

1.1 引理 1：$w \in L \Leftrightarrow w \in L(M)$

• 证明（$\Rightarrow$） ：假设 $w \in L$，这意味着 $w$ 不包含子串 (a b a a) 。由于状态不变式始终成立，状态机 $M$ 处理 $w$ 后不会停在状态 $R$，那么 $M$ 必然停在 $S$、$A$、$B$ 或 $C$ 这些最终状态，所以 $w \in L(M)$。
• 证明（$\Leftarrow$） ：假设 $w \in L(M)$，即 $M$ 停在 $S$、$A$、$B$ 或 $C$。这些状态的不变式表明 $w$ 不包含子串 (a b a a) ，因此 $w \in L$。

1.2 引理 2：$w \notin L \Leftrightarrow w \notin L(M)$

• 证明（$\Rightarrow$） ：假设 $w \notin L