28、计数类与相关定理的深入解析

计数类与相关定理的深入解析

1. 计数类的基本定义

在计算复杂性理论中，有几个重要的计数类，它们在解决各种计算问题时发挥着关键作用。

• ⊕P 类 ：⊕P（发音为 “parity P”）是所有语言 L 的类，对于这类语言，存在一个非确定性多项式时间有界图灵机 M，使得 L = {x | M 在输入 x 上有奇数个接受计算}。
• #P 类 ：#P（发音为 “sharp P”）是函数 f : Σ∗→N 的类，对于每个 x，存在一个非确定性多项式时间有界图灵机 M，使得 f(x) = #accM(x)，其中 #accM(x) 表示 M 在输入 x 上不同接受计算的数量。

同时，定义了 P#P = {L | L 由一个确定性函数预言图灵机在多项式时间内相对于 #P 中的一个函数被接受}。

2. 计数类中的重要问题

• #SAT 函数 ：定义 #SAT(F) 为命题逻辑公式 F 的满足赋值的数量。可以证明 #SAT 对于 #P 是完全的。因为对于任意 NP 中的集合 L 和接受 L 的非确定性多项式时间有界图灵机 M，存在一个简约归约 fL，使得 #accM(x) = #SAT(fL(x))。
• ⊕SAT 集合 ：⊕SAT = {F | 公式 F 有奇数个满足赋值}。可以证明 ⊕SAT 对于 ⊕P 是 ≤Pm - 完全的。
• L#SAT 语言 ：L#SAT =