27、概率复杂度类中的随机哈希函数与图同构问题

概率复杂度类中的随机哈希函数与图同构问题

1. 概率方法与随机哈希函数简介

在某些证明中，通过证明相反情况发生的概率小于 1，我们可以证明存在某个字符串满足特定条件，这种证明方法被称为概率方法。例如，证明存在字符串 r 使得对于所有 x ∈{0, 1}ⁿ，有 M(x, r) = χₐ(x) 。

1.1 随机哈希函数的定义

设 Σ = {0, 1}，随机哈希函数 h : Σᵗ → Σᵐ 由一个布尔 (m, t) - 矩阵 h = (mᵢⱼ) 给出，其中每个元素 mᵢⱼ ∈{0, 1} 是独立且均匀随机选取的。对于 a = a₁…aₜ ∈ Σᵗ，h(a) 的第 j 位为 (mⱼ₁ ∧ a₁) ⊕···⊕ (mⱼₜ ∧ aₜ)，即 h(a) 是通过 h 的 m 行与 a 相乘得到的。

1.2 随机哈希函数的性质

• 命题 10.2 ：给定随机哈希函数 h : Σᵗ → Σᵐ 和非零字符串 a ∈ Σᵗ，Pr[h(a) = 0] = 2⁻ᵐ。
  • 证明思路 ：由于 h 的每个 0/1 元素是独立选取的，所以行也是独立的。只需证明每个内积为 0 的概率为 1/2。对于非零字符串 a，固定其中一个非零位 aᵢ，对于每个位 b ∈{0, 1}，考虑与 a 内积为 b 的向量集合 I_b。通过构造一个双射，可以证明 |I₀| = |I₁| = 2ᵗ⁻¹，从而得出 Pr[v ∈ Σᵗ | v · a = 0] = 1/2。
• 命题 10.3 ：设 h