26、概率复杂度类的深入解析

概率复杂度类的深入解析

1. 概率计算的引入

在计算领域，将随机性引入计算过程能带来诸多益处。我们把随机性视为一种资源，概率算法使计算能够依赖理想随机生成器的输出，就如同抛硬币一样。通过对算法所接受的语言进行分类，我们可以对概率算法进行归类。一些用普通确定性计算难以解决的重要计算问题，利用概率算法却能得到高效的解决方案。这些算法实现起来相对容易，能为原本棘手的问题提供快速且可靠的解决办法。不过，这种高效是有代价的，概率算法有时会产生错误。

为了精确地定义概率复杂度类，我们需要引入概率图灵机的概念。概率图灵机本质上是一种非确定性图灵机，但对接受状态的定义有所不同。每个非确定性选择都被看作是一个随机实验，每个结果的概率相等。我们可以假设每个非确定性分支恰好有两个可能的结果，每个结果的概率为 1/2。概率图灵机有三种最终状态：接受状态（1 - 状态）、拒绝状态（0 - 状态）和未确定状态（? - 状态）。机器在输入上的输出是一个随机变量，其取值范围为 {1, 0,?}。我们用 Pr[M(x) = a] 表示机器 M 在输入 x 时在 a - 状态停止的概率。给定路径的概率是通过将 1/2 提升到该路径上非确定性选择的数量的幂得到的。机器 M 接受输入 x 的概率 Pr[M(x) = 1] 是所有接受路径概率的总和。

2. 类 PP

我们可以定义几种不同的概率复杂度类，其中第一个类是 PP（多项式概率时间）。PP 是最容易定义但实用性最低的类。设 χA 表示集合 A 的特征函数。

• 定义 ：PP 是这样一类语言 A，存在一个概率多项式时间有界的图灵机 M，使得对于所有的 x，Pr[M(x) =