22、多项式规模电路族与低高层次结构解析

多项式规模电路族与低高层次结构解析

1. 多项式规模电路族

在研究电路相关问题时，首先要对电路进行编码。对于一个电路 (C)，我们为其每个节点编号 (g_1,g_2,\cdots)，其中输出节点编号为 (0)，若有 (n) 个可变输入节点，则输入节点 (x_1,\cdots,x_n) 分别编号为 (1,\cdots,n)，节点编号顺序无其他限制，且最大节点编号为 (s(C)^{O(1)})，这样二进制编码的门编号长度为 (O(\log s(C)))。电路 (C) 可编码为元组 (\langle g,b,g_l,g_r\rangle) 的集合，具体规则如下：
- (g) 是节点编号。
- 若 (g = 0)，(b) 为空字；若 (g) 是内部节点编号，(b) 是该节点执行的布尔运算；若 (g\in{1,\cdots,n}) 是可变输入节点编号，(b) 为空字；若 (g) 是常值输入节点编号，(b) 是该节点标记的常数值。
- 若 (b) 是二元布尔运算，(g_l) 和 (g_r) 是为 (g) 提供输入值的节点编号；若 (b) 是 NOT 运算，(g_r) 为空字；若 (g) 是输入节点，(g_l) 和 (g_r) 都为空字。

下面来看一些相关问题：
- 问题 8.4 ：若语言 (L) 有多项式规模的电路族 ({C_n}_{n>0})，则存在多项式 (p)，使得对于所有 (n > 0)，(C_n) 的长度小于等于 (p(n))。
- 电路值问题（CVP） ：是满足 (x\in{0,1}^ )，(y) 编码一个有 (|x|) 个输入门的电路，且 (y) 在输