18、计算复杂性中的相对可计算性与NP结构探究

计算复杂性中的相对可计算性与NP结构探究

1. 相对可计算性与NP完全性

在计算复杂性理论中，我们关注不同集合之间的可计算性和复杂性关系。对于NP类问题，有两种重要的完全性概念：多项式时间图灵归约（≤P T）完全性和多项式时间多一归约（≤P m）完全性。

首先，通过特定的构造过程，可以得到一个集合B，使得集合A满足A ≤P T B但A ̸≤P m B。具体构造步骤如下：
- 设m = 1 + max{n,|fi(x)|}，并以与条件7.1一致的方式将B的定义扩展到所有长度小于m的单词。
- 步骤1总能找到一个字符串x，否则A能在多项式时间内多一归约到有限集B(n)，这将意味着A ∈P。
- 步骤2和3可以执行，因为字符串za的成员资格的判定是确定的。

对于≤P T -完全的NP集合，有如下重要定理：如果A是≤P T -完全的NP集合，那么A ∈P当且仅当P = NP。不过，目前还不清楚是否存在是≤P T -完全但不是≤P m -完全的NP集合，以及是否存在NP中的集合A和B，使得A ≤P T B但A ̸≤P m B。

2. 搜索问题

许多组合决策问题自然地以搜索问题的形式出现，即计算比简单的接受或拒绝更有用的输出值。例如，哈密顿回路问题，我们不仅关心图是否有哈密顿回路，更希望能输出一个哈密顿回路（如果存在）。

对于NP中的集合L，搜索问题是找到一个算法，对于每个实例x，如果x ∈L，计算一个字符串y，使得|y| ≤ pL(|x|)且RL(x,y)。这里，RL是一个多项式时间可判定的关系，pL是一个多项式，它们定义了集合L。

定义Prefix(RL, pL) = {⟨x,