17、非确定性、NP 完全性与相对可计算性

非确定性、NP 完全性与相对可计算性

在计算理论中，非确定性和 NP 完全性是两个非常重要的概念，它们对于理解问题的复杂度和可解性有着至关重要的作用。同时，相对可计算性则进一步拓展了我们对问题之间关系的认识。

非确定性与 NP 完全性

CLIQUE 问题与 NP 类

CLIQUE 问题属于 NP 类。给定一个图 $G$ 和整数 $j \leq |V|$，我们可以通过猜测一个大小 $\geq j$ 的子图，然后判断它是否为团（clique）来验证。这表明 CLIQUE 问题可以在非确定性多项式时间内得到验证，因此属于 NP 类。

VERTEX COVER 与 CLIQUE 的归约

我们可以证明 VERTEX COVER 问题可以多项式时间多一归约到 CLIQUE 问题。对于图 $G = (V, E)$，其补图 $G^c = (V, E^c)$，其中 $E^c = {(u, v) | u \in V, v \in V, \text{ 且 } (u, v) \notin E}$。对于 VERTEX COVER 问题的一个实例，即图 $G$ 和正整数 $k \leq |V|$，多项式时间归约的输出是 $G^c$ 和整数 $|V| - k$。

证明过程如下：
- 若 $V’$ 是 $G$ 的一个顶点覆盖，那么 $V - V’$ 是 $G^c$ 的一个团。设 $u$ 和 $v$ 属于 $V - V’$，由于 $G$ 的每条边至少有一个邻接顶点在 $V’$ 中，所以 $(u, v) \notin E$，即 $(u, v) \in E^c$。
- 反之，若 $V’$ 是 $G^c$ 的一个团，那么 $V -