14、计算复杂度理论基础结果与非确定性研究

计算复杂度理论基础结果与非确定性研究

1. 单字母语言相关内容

单字母字符串是字母表 {1}∗ 上的单词，单字母语言则是 {1}∗ 的子集。自然数 n 可以用 2 进制简洁表示为单词 n(w)，而单字母字符串 1n(w) 是对 w 所代表信息 n(w) 的冗长表示。对于语言 L ⊆Σ∗，定义 Tally(L) = {1n(w) | w ∈L}。

有定理表明：NE ⊆E 当且仅当 NP 中的每个单字母语言都属于 P。其证明基于以下四个论断：
1. L ∈NE ⇒Tally(L) ∈NP；
2. Tally(L) ∈P ⇒L ∈E；
3. Tally(L) ∈NP ⇒L ∈NE；
4. L ∈E ⇒Tally(L) ∈P。

下面给出论断 1 的证明：设 L ∈NE，存在一个 2cn 时间有界的非确定性多带图灵机 M1 接受 L。从 M1 构造图灵机 M2，其操作如下：给定输入字符串 1m，M2 在存储带上写出唯一的单词 w 使得 n(w) = m，通过对每个输入的符号 1 在二进制表示上加 1 来实现。然后，M2 模拟 M1 对 w 的计算，当且仅当 M1 接受 w 时，M2 接受 1n(w)。M2 的运行时间为 O(mlogm + 2c|w|)，对于常数 c2，|w| ≤c2 logm，所以 M2 运行时间为 O(mlogm + mc3)（c3 为常数）。由于 M1 是非确定性的，M2 也是，且 M2 在多项式时间内运行，所以 Tally(L) ∈NP。

还有推论：P = NP 意味着 E = NE。同时有作业要求证明：对于每个 L ∈NP，Tally(L) ∈P 当且仅当 NP ⊆E。

2. 标准复