12、图灵机复杂度类的包含关系解读

图灵机复杂度类的包含关系解读

1. 引言

在计算理论中，时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要指标。不同的复杂度类代表了不同计算能力的算法集合。本文将深入探讨时间有界和空间有界、确定性和非确定性复杂度类之间的包含关系。

2. 基本包含关系定理

首先，有两个基本的无需证明的定理：
- 定理 5.8 ：对于任意函数 (f)，有 (DTIME(f) \subseteq DSPACE(f)) 和 (NTIME(f) \subseteq NSPACE(f))。这表明在时间复杂度为 (f) 的确定性计算可以在空间复杂度为 (f) 的确定性计算中完成，同理，非确定性时间复杂度为 (f) 的计算可以在非确定性空间复杂度为 (f) 的计算中完成。

3. 空间有界图灵机的停机问题

一个图灵机可能会陷入无限循环，但仍只使用有界的空间。然而，如果一个语言 (L) 能被一个 (S(n) \geq \log(n)) 空间有界的图灵机接受，那么它也能被一个在所有输入上都停机的 (S(n)) 空间有界图灵机接受。

3.1 引理 5.1

设 (M) 是一个单带 (S(n)) 空间有界的图灵机，其中 (S(n) \geq \log n)。定义 (M) 的一个格局 (I) 的长度为在格局 (I) 下 (M) 的工作带的长度。存在一个常数 (k)，使得对于每个 (n) 和每个 (l)（(\log n \leq l \leq S(n))），在长度为 (n) 的任何输入上，长度为 (l) 的 (M) 的不同格局的数量最多为 (k^l)。特别地，在长度为 (n) 的任何输入上，(M)