8、不可判定性与递归定理深入解析

不可判定性与递归定理深入解析

1. 多项式时间图灵机集合的不可计算枚举性

在可计算性理论中，存在一些关于图灵机性质的有趣结论。对于所有能在多项式时间内运行的图灵机的集合 (S = {i | M_i) 以多项式时间运行 (})，它甚至不是可计算枚举的。不过，由于 (S) 不是索引集，所以不能使用莱斯定理来得出这个结果。

2. 图灵归约与神谕图灵机

2.1 图灵归约的基础概念

假设对于两个集合 (A) 和 (B)，有 (A \leq_m B)，这意味着存在一个全可计算函数 (f)，使得 (x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B)。利用这个归约，可以定义一个接受 (A) 的算法，该算法会调用集合 (B) 作为子程序：

begin
    input x;
    if f(x) ∈ B then accept else reject;
end.

这种包含对集合 (B) 子程序调用的程序被称为归约过程，而集合 (B) 被称为神谕。

2.2 神谕图灵机的定义

为了使这些概念更精确，我们将图灵机的概念进行扩展，引入神谕图灵机。神谕图灵机是一种带有特殊神谕带和三个特殊状态（(Q)、(YES) 和 (NO)）的图灵机。当图灵机进入状态 (Q) 时，下一个状态是 (YES) 还是 (NO) 取决于当前写在神谕带上的单词是否属于神谕集。并且，神谕带上的单词会立即被擦除。

以下是一个归约过程的示例：