5、可计算性与计算模型介绍

可计算性与计算模型介绍

1. 图灵机相关定理与作业

1.1 多带图灵机与单带图灵机的等价性

存在这样的推论：对于每一个多带图灵机，都存在一个单带图灵机可以计算相同的部分可计算函数。这表明在计算能力上，单带图灵机和多带图灵机在一定程度上是等价的。

1.2 可判定语言的特征

有定理指出，一个语言 (L) 是可判定的，当且仅当 (L) 和它的补集 (\overline{L}) 都是可接受的。证明过程如下：
- 若 (L) 是可判定的，根据定义它是可接受的。设 (M) 是 (L) 的判定器，将 (M) 的接受状态 (q_{accept}) 和拒绝状态 (q_{reject}) 互换得到的图灵机就是 (\overline{L}) 的判定器，所以 (\overline{L}) 也是可接受的。
- 反之，设 (M_L) 和 (M_{\overline{L}}) 分别是接受 (L) 和 (\overline{L}) 的图灵机。设计图灵机 (N)，对于输入字 (w)，(N) 先将输入复制到第二条带上，然后在部分带上模拟 (M_L)，同时在其他带上模拟 (M_{\overline{L}})。若 (M_L) 的模拟接受 (w)，则 (N) 接受 (w)；若 (M_{\overline{L}}) 的模拟接受 (w)，则 (N) 拒绝 (w)。因为每个字 (w) 要么属于 (L) 要么属于 (\overline{L})，所以 (N) 在每个输入上都会停机，这就证明了 (L) 是可判定的。

1.3 作业

使用 2 - 进或二进制表示数字，描述计算以下函数的多带图灵机：
1. (\lceil\log_2 n\