4、图灵机：计算能力与变体

图灵机：计算能力与变体

1. 图灵机基础

1.1 图灵机简介

在现代计算机发明之前，艾伦·图灵（Alan Turing）于 1936 年就描述了一种计算机器的理论模型——图灵机。尽管其结构简单，但图灵机具有卓越的特性，它与任何其他计算设备拥有相同的计算能力。

图灵机的计算机内存以无限长纸带的单元形式线性排列。纸带的每个单元可以存储从有限纸带字母表 Γ 中选取的一个符号。初始时，输入单词以输入字母表 Σ 中的单词 w 的形式放置在原本为空的纸带上。

图灵机有一个有限控制器，它连接着一个每次扫描纸带一个单元的读写头。控制器接下来的操作，无论是扫描不同的符号还是在方格上打印新符号，都取决于它的“内部状态”以及当前正在扫描的符号。

在一次移动中，图灵机执行以下三个操作：
1. 打印一个新符号。
2. 将读写头向左或向右移动一个单元。
3. 改变状态。

图灵机的状态数量是有限的，并且在任何时候只使用有限的内存。图灵机有两个指定的特殊状态：接受状态 qaccept 和拒绝状态 qreject。当图灵机进入这两个状态之一时，它将停止运行。不过，对于某些输入，图灵机可能会永远运行下去，这与大多数程序员的经验相符。

1.2 图灵机的形式定义

形式上，图灵机 M 可以表示为一个系统：
M = ⟨Q, Σ, Γ, δ, q0, B, qaccept, qreject⟩
其中：
- Q 是有限状态集。
- Γ 是有限纸带字母表。
- B ∈ Γ 是空白符号。
- Σ 是输入字母表，且 Σ ⊆ Γ - {B}。