33、顺序可组合理性证明的深入解析

顺序可组合理性证明的深入解析

1. 理性证明基础

在很多场景中，证明者可能会采用一些策略来应对问题，比如随机回答，这种策略仅需 $O(1)$ 时间。为确保正确回答成为理性策略，需保证在给定的 $T$ 时间间隔结束时，诚实证明者的奖励大于不诚实证明者的奖励。然而，在某些协议里，快速给出错误答案对证明者而言可能更有利可图，因为这能让他们解决更多问题并获取更多奖励。

接下来，我们需要给出一个定义和协议，使其在独立情况以及上述组合情况下都能实现理性。首先，我们给出增强版的理性证明定义，该定义消除了快速给出错误答案策略的经济激励。

理性证明定义

若存在交互式证明 $(P, V)$ 和随机奖励函数 $rew : {0, 1}^ \to R_{\geq 0}$，使得函数 $f : {0, 1}^n \to {0, 1}^n$ 满足以下条件，则称该函数存在理性证明：
1. 理性完备性 *：对于任意输入 $x \in {0, 1}^n$，有 $Pr[out((P, V)(x)) = f(x)] = 1$。
2. 对于每个证明者 $\tilde{P}$ 以及任意输入 $x \in {0, 1}^n$，存在 $\delta_{\tilde{P}}(x) \geq 0$，使得 $E[rew((\tilde{P}, V)(x))] + \delta_{\tilde{P}}(x) \leq E[rew((P, V)(x))]$。这里的期望和概率是基于证明者和验证者的随机硬币得出的。

设 $\epsilon_{\tilde{P}} = Pr[out((P, V)(x)) \neq f(x)]$，按照相关