24、环保安全博弈模型解析

环保安全博弈模型解析

1. 基础算法分析

在算法 1 执行完毕后，对于任意的 $T’ \subseteq T$，我们可以轻松得到其最短覆盖路径的时间成本：
[c^ (T’) = \min_{Q \in Y_{|T’|}} c(Q)]
其中 $Y_{|T’|} = \cup_{t \in T} {Search(T’, C_{|T’|}^{v,t})}$ （注意，如果 $T’$ 不是覆盖集，那么 $c^ (T’) = \infty$）。算法 1 被称为“基础”算法，因为它没有具体说明如何执行以下两个子任务：
- 标记被支配的覆盖集 ：每次执行第 11 和 12 行时，一个覆盖集会被添加到某个集合中。设这个集合为 $Q$，并假设其基数为 $k$。每当需要在基数为 $k$ 时包含一个新的 $Q$ 时，我们会标记所有在基数为 $k - 1$ 且被 $Q$ 支配的覆盖集（根据定义 3）。在最坏情况下，可能被支配的集合数量为 $|Q|$，对于每个可行的终端 $t$，都需要在集合 $C_{k - 1}^{v,t}$ 中搜索这些集合，如果找到，则标记为被支配。终端目标的数量和 $Q$ 的基数最多为 $n$，使用二叉树方法可以在 $O(|T(s)|)$ 时间内高效执行搜索过程。因此，在算法 1 的每次迭代中，标记被支配的覆盖集需要额外的 $O(|T(s)|^3)$ 成本。我们只能标记而不能删除被支配的覆盖集，因为它们可能会生成非支配的覆盖集。
- 生成路径 ：算法 1 专注于覆盖集，并不维护相应路径的列表。实际上，为了构建 SRG - v 的收益矩阵，我们并不严格需要覆盖路径，因为覆盖集足以确定收益。然