72、高阶平均法在范德波尔振荡器中的应用及开口桩打入性能预测

高阶平均法在范德波尔振荡器中的应用及开口桩打入性能预测

高阶平均法在范德波尔振荡器中的应用

在工程应用中，随机噪声对动力系统的影响一直是研究热点。范德波尔振荡器由Balthasar Van der Pol最初提出，其方程在机械和机器人等领域有广泛应用。

传统的平均法在随机振动领域多局限于一阶近似，对于许多非线性随机系统，一阶近似的精度可能不足。因此，人们开发了不同的平均程序以获得更精确的近似解。Anh提出了使用福克 - 普朗克（FP）方程的高阶随机平均程序，并将其应用于受白噪声激励的范德波尔振荡器，但未分析系统参数对响应的影响。

本文进一步将该程序应用于受白噪声激励的范德波尔系统，给出了振幅和相位的三阶平稳联合概率密度函数（PDF），并通过蒙特卡罗方法验证了近似解的准确性，详细分析了系统参数对响应的影响。

三阶随机平均程序

考虑受随机激励的范德波尔振荡器方程：
(\ddot{x} + \omega^2x = \varepsilon(1 - \gamma x^2)\dot{x} + \sqrt{\varepsilon}\sigma\xi(t))
其中，(\omega)、(\gamma)、(\sigma)为正常数，(\xi(t))是零均值高斯白噪声过程，满足(E(\xi(t)\xi(t + \tau)) = \delta(\tau))，(E)表示数学期望，(\delta(\tau))是狄拉克 - 德尔塔函数。

通过变换(x(t) = a(t) \cos \varphi(t))，(\dot{x}(t) = -\omega a(t) \sin \varphi(t))引入新变量振幅(a(t))和全相位(\v