69、特殊情况下的精确解析周期解及层合复合梁振动分析

特殊情况下的精确解析周期解及层合复合梁振动分析

特殊情况下的精确解析周期解

系统方程与初始条件

考虑一个具有特殊性质的系统，其无量纲形式的方程如下：
当 (x \geq 0) 时，(\ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + \omega_1^2x = \cos \tau)；
当 (x < 0) 时，(\ddot{x} + \omega_2^2x = \cos \tau)。
其中，(\tau = \epsilon t)，(x = \frac{m\epsilon^2}{F} u)，(\omega_1 = \frac{1}{\epsilon} \sqrt{\frac{k_1}{m}})，(\omega_2 = \frac{1}{\epsilon} \sqrt{\frac{k_2}{m}})，(\gamma = \frac{d}{2m\epsilon})，为简便起见，上方的点表示对 (\tau) 求导。
初始条件设定为：
(\begin{cases}
x(\tau_0) = 0 \
\dot{x}(\tau_0) = v_0 > 0
\end{cases})，其中 (0 \leq \tau_0 < 2\pi)。

运动阶段分析

物体最初在阻尼域中运动，直到时间点 (\tau_1) 满足：
(\begin{cases}
x(\tau_1) = 0 \
\dot{x}(\tau_1) = v_1 < 0
\end{cases})
之后，物体进入无阻尼域，直到时间点 (\tau_2) 时位移达到零且速